Koordinatenebene

 

Im folgenden seien die drei Koordinatenachsen des dreidimensionalen Raums ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$  mit ${\displaystyle x_{1}}$ , ${\displaystyle x_{2}}$  und ${\displaystyle x_{3}}$  bezeichnet. Die drei Koordinatenebenen werden häufig mit den Buchstaben ${\displaystyle E}$  gekennzeichnet, der mit zwei Indizes versehen wird, die die beiden Einheitsvektoren angeben, von denen die Ebene aufgespannt wird:

• die ${\displaystyle x_{1}x_{2}}$ -Ebene ${\displaystyle E_{12}}$  wird von den Vektoren ${\displaystyle {\vec {e}}_{1}}$  und ${\displaystyle {\vec {e}}_{2}}$  aufgespannt
• die ${\displaystyle x_{1}x_{3}}$ -Ebene ${\displaystyle E_{13}}$  wird von den Vektoren ${\displaystyle {\vec {e}}_{1}}$  und ${\displaystyle {\vec {e}}_{3}}$  aufgespannt
• die ${\displaystyle x_{2}x_{3}}$ -Ebene ${\displaystyle E_{23}}$  wird von den Vektoren ${\displaystyle {\vec {e}}_{2}}$  und ${\displaystyle {\vec {e}}_{3}}$  aufgespannt

Hierbei sind die drei Einheitsvektoren ${\displaystyle {\vec {e}}_{1}=(1,0,0)}$ , ${\displaystyle {\vec {e}}_{2}=(0,1,0)}$  und ${\displaystyle {\vec {e}}_{3}=(0,0,1)}$ . Durch die drei Koordinatenebenen wird der dreidimensionale Raum in acht Oktanten zerlegt. Der Schnitt zweier Koordinatenebenen ergibt eine Koordinatenachse, der Schnitt aller drei Koordinatenebenen den Koordinatenursprung.

Die drei Koordinatenebenen werden durch die folgenden Ebenengleichungen charakterisiert:

Koordinatenebene	Koordinatenform	Normalenform	Parameterform	Achsenabschnittsform
${\displaystyle E_{12}}$	${\displaystyle x_{3}=0}$	${\displaystyle {\vec {e}}_{3}\cdot {\vec {x}}=0}$	${\displaystyle {\vec {x}}=\lambda \cdot {\vec {e}}_{1}+\mu \cdot {\vec {e}}_{2}}$	nicht definiert
${\displaystyle E_{13}}$	${\displaystyle x_{2}=0}$	${\displaystyle {\vec {e}}_{2}\cdot {\vec {x}}=0}$	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \vec x = \lambda \cdot \vec e_1 + \mu \cdot \vec e_3}	nicht definiert
${\displaystyle E_{23}}$	${\displaystyle x_{1}=0}$	${\displaystyle {\vec {e}}_{1}\cdot {\vec {x}}=0}$	${\displaystyle {\vec {x}}=\lambda \cdot {\vec {e}}_{2}+\mu \cdot {\vec {e}}_{3}}$	nicht definiert

Hierbei sind ${\displaystyle {\vec {x}}=(x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb {R} ^{3}}$  ein Punkt der jeweiligen Ebene, ${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}}$  das Skalarprodukt der Vektoren ${\displaystyle {\vec {x}}}$  und ${\displaystyle {\vec {y}}}$  sowie ${\displaystyle \lambda }$  und ${\displaystyle \mu }$  reelle Zahlen.

In der darstellenden Geometrie entsprechen die drei Koordinatenebenen häufig der Grundrissebene, der Aufrissebene und der Kreuzrissebene.

In der synthetischen Geometrie wird eine affine oder projektive Ebene, der als Koordinatenbereich eine Menge mit einer bestimmten algebraischen Struktur (ein Ternärkörper, Quasikörper, Alternativkörper, Schiefkörper etc.) zugeordnet werden kann, als Koordinatenebene über diesem verallgemeinerten Körper bezeichnet.

• Wolf-Dieter Klix, Karla Nestler: Konstruktive Geometrie. Hanser, 2001, ISBN 3-446-21566-2. 
• Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. Auflage. Springer, 2007, ISBN 3-540-49328-X. 

•  

  Commons: Coordinate planes – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien