Koordinatenebene

 

Im folgenden seien die drei Koordinatenachsen des dreidimensionalen Raums ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$  mit ${\displaystyle x_{1}}$ , ${\displaystyle x_{2}}$  und ${\displaystyle x_{3}}$  bezeichnet. Die drei Koordinatenebenen werden dann häufig mit den Buchstaben ${\displaystyle E}$  gekennzeichnet, der mit zwei Indizes versehen wird, die die beiden Einheitsvektoren angeben, von denen die Ebene aufgespannt wird:

• die ${\displaystyle x_{1}x_{2}}$ -Ebene ${\displaystyle E_{12}}$  wird von den Vektoren ${\displaystyle {\vec {e}}_{1}}$  und ${\displaystyle {\vec {e}}_{2}}$  aufgespannt
• die ${\displaystyle x_{1}x_{3}}$ -Ebene ${\displaystyle E_{13}}$  wird von den Vektoren ${\displaystyle {\vec {e}}_{1}}$  und ${\displaystyle {\vec {e}}_{3}}$  aufgespannt
• die ${\displaystyle x_{2}x_{3}}$ -Ebene ${\displaystyle E_{23}}$  wird von den Vektoren ${\displaystyle {\vec {e}}_{2}}$  und ${\displaystyle {\vec {e}}_{3}}$  aufgespannt

Hierbei sind die drei Einheitsvektoren ${\displaystyle {\vec {e}}_{1}=(1,0,0)}$ , ${\displaystyle {\vec {e}}_{2}=(0,1,0)}$  und ${\displaystyle {\vec {e}}_{3}=(0,0,1)}$ . Durch die drei Koordinatenebenen wird der dreidimensionale Raum in acht Oktanten zerlegt.

In Koordinatenform werden die Koordinatenebenen durch die folgenden Gleichungen charakterisiert:

• ${\displaystyle E_{12}\colon \ x_{3}=0}$ 
• ${\displaystyle E_{13}\colon \ x_{2}=0}$ 
• ${\displaystyle E_{23}\colon \ x_{1}=0}$ 

In der darstellenden Geometrie werden die Koordinatenebenen häufig als Grundrissebene, Aufrissebene und Kreuzrissebene bezeichnet.

In der synthetischen Geometrie wird eine affine oder projektive Ebene, der als Koordinatenbereich eine Menge mit einer bestimmten algebraischen Struktur (ein Ternärkörper, Quasikörper, Alternativkörper, Schiefkörper etc.) zugeordnet werden kann, als Koordinatenebene über diesem verallgemeinerten Körper bezeichnet.