„Koordinatenebene“ – Versionsunterschied
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[[Datei:Cartesian coordinates - language independent.svg|miniatur|Die Koordinatenebene im zweidimensionalen Raum]]
Als '''Koordinatenebene''' bezeichnet man in der [[Analytische Geometrie|analytischen Geometrie]] eine von zwei [[Einheitsvektor]]en aufgespannte [[Ursprungsebene]]. In zwei Dimensionen entspricht die Koordinatenebene der [[Euklidische Ebene|euklidischen Ebene]] und damit der Grundfläche eines [[kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinatensystems]]. Im dreidimensionalen Raum gibt es drei Koordinatenebenen: die '''xy-Ebene''', die '''xz-Ebene''' und die '''yz-Ebene'''.
* <math>E_{1,2}</math>, aufgespannt von <math>\vec e_1</math> und <math>\vec e_2</math>▼
* <math>E_{1,3}</math>, aufgespannt von <math>\vec e_1</math> und <math>\vec e_3</math>▼
* <math>E_{2,3}</math>, aufgespannt von <math>\vec e_2</math> und <math>\vec e_3</math>▼
== Analytische Geometrie ==
=== Bezeichnungen ===
[[Datei:Koordinatenebenen.png|miniatur|Die drei Koordinatenebenen im dreidimensionalen Raum]]
Im Folgenden seien die drei [[Koordinatenachse]]n des dreidimensionalen Raums <math>\R^3</math> mit <math>x_1</math>, <math>x_2</math> und <math>x_3</math> bezeichnet. Die drei Koordinatenebenen werden häufig mit den Buchstaben <math>E</math> gekennzeichnet, der mit zwei Indizes versehen wird, die die beiden [[Einheitsvektor]]en angeben, von denen die Ebene aufgespannt wird:
▲* die <math>x_1x_2</math>-Ebene <math>E_{
▲* die <math>x_1x_3</math>-Ebene <math>E_{
▲* die <math>x_2x_3</math>-Ebene <math>E_{
Hierbei sind die drei Einheitsvektoren <math>\vec e_1 = (1, 0, 0)</math>, <math>\vec e_2 = (0, 1, 0)</math> und <math>\vec e_3 = (0, 0, 1)</math>. Durch die drei Koordinatenebenen wird der dreidimensionale Raum in acht [[Oktant (Geometrie)|Oktanten]] zerlegt. Der [[Schnittmenge|Schnitt]] zweier Koordinatenebenen ergibt eine Koordinatenachse, der Schnitt aller drei Koordinatenebenen den [[Koordinatenursprung]].
=== Ebenengleichungen ===
Die drei Koordinatenebenen werden durch die folgenden [[Ebenengleichung]]en charakterisiert:
{| class="wikitable" style="text-align:center"
! width=20% | Koordinatenebene
! width=20% | [[Koordinatenform]]
! width=20% | [[Normalenform]]
! width=20% | [[Parameterform]]
! width=20% | [[Achsenabschnittsform]]
|-
| <math>E_{12}</math> || <math>x_3 = 0</math> || <math>\vec e_3 \cdot \vec x = 0</math> || <math>\vec x = s \, \vec e_1 + t \, \vec e_2</math> || nicht definiert
|-
| <math>E_{13}</math> || <math>x_2 = 0</math> || <math>\vec e_2 \cdot \vec x = 0</math> || <math>\vec x = s \, \vec e_1 + t \, \vec e_3</math> || nicht definiert
|-
| <math>E_{23}</math> || <math>x_1 = 0</math> || <math>\vec e_1 \cdot \vec x = 0</math> || <math>\vec x = s \, \vec e_2 + t \, \vec e_3</math> || nicht definiert
|-
|}
Hierbei sind <math>\vec x = (x_1, x_2, x_3) \in \R^3</math> ein Punkt der jeweiligen Ebene, <math>\vec x \cdot \vec y</math> das [[Skalarprodukt]] der Vektoren <math>\vec x</math> und <math>\vec y</math> sowie <math>s</math> und <math>t</math> reelle Zahlen.
== Darstellende Geometrie ==
In der [[Darstellende Geometrie|darstellenden Geometrie]] entsprechen die drei Koordinatenebenen häufig der Grundrissebene, der Aufrissebene und der Kreuzrissebene.
{{Siehe auch|Normalprojektion}}
== Synthetische Geometrie ==
In der [[Synthetische Geometrie|synthetischen Geometrie]] wird eine [[affine Ebene|affine]] oder [[projektive Ebene]], der als Koordinatenbereich eine Menge mit einer bestimmten algebraischen Struktur (ein [[Ternärkörper]], [[Quasikörper]], [[Alternativkörper]], [[Schiefkörper]] etc.) zugeordnet werden kann, als ''Koordinatenebene'' über diesem verallgemeinerten [[Körper (Algebra)|Körper]] bezeichnet.
{{Siehe auch|Projektives Koordinatensystem}}
== Literatur ==
* {{Literatur|Autor=Wolf-Dieter Klix, Karla Nestler|Titel=Konstruktive Geometrie|Verlag=Hanser|Jahr=2001|ISBN=3-446-21566-2}}
* {{Literatur|Autor=Max Koecher, Aloys Krieg|Titel=Ebene Geometrie|Verlag=Springer|Auflage=3.|Jahr=2007|ISBN=3-540-49328-X}}
== Weblinks ==
{{Commonscat|Coordinate planes}}
[[Kategorie:Analytische Geometrie]]
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