Wesentliches Supremum

Seien ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {L}},\mu )}$  ein Maßraum und ${\displaystyle X}$  ein Banachraum. Eine messbare Funktion ${\displaystyle f\colon \Omega \rightarrow X}$  heißt wesentlich beschränkt, wenn es eine Zahl ${\displaystyle M\in \mathbb {R} }$  gibt, so dass

${\displaystyle \mu (\{x\in \Omega \ |\ \|f(x)\|_{X}>M\})=0}$ 

ist, das heißt, es gibt eine Modifikation von ${\displaystyle f}$  auf einer Nullmenge, so dass die entstehende Funktion im klassischen Sinne beschränkt ist. Jedes solche ${\displaystyle M}$  wird eine wesentliche Schranke genannt. Als wesentliches Supremum, in Zeichen ${\displaystyle \mathrm {ess} \sup \|f\|_{X}}$ , bezeichnet man

${\displaystyle \mathrm {ess} \sup \|f\|_{X}=\inf\{M\geq 0\ |\ M\ {\text{ist wesentliche Schranke}}\}}$ 

oder auch (für ${\displaystyle A\subset \Omega }$ )

${\displaystyle \mathrm {ess} \sup _{x\in A}\|f(x)\|_{X}=\inf _{N\subset A,\mu (N)=0}\sup _{x\in A\setminus N}\|f(x)\|_{X}}$ .

Einige Autoren bezeichnen das wesentliche Supremum auch mit ${\displaystyle \mathrm {vrai} \max \|f\|_{X}}$  oder ${\displaystyle \operatorname {wes} \sup ||f||_{X}}$ .^[1]

Für eine stetige oder abschnittsweise stetige Funktion ergibt sich die Identität zum klassischen Supremum, falls ${\displaystyle \mu }$  das Lebesgue-Maß ist.

Mit ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\infty }(\Omega ,X)}$  wird die Menge aller wesentlich beschränkten Funktionen bezeichnet. Es sei mit ${\displaystyle {\mathcal {N}}\subset {\mathcal {L}}^{\infty }(\Omega ,X)}$  die Menge der wesentlich beschränkten Funktionen mit Schranke 0 bezeichnet. Dann ist ${\displaystyle L^{\infty }(\Omega ,X):={\mathcal {L}}^{\infty }(\Omega ,X)/{\mathcal {N}}}$  die Menge der Äquivalenzklassen von Funktionen, die sich nur auf einer Nullmenge unterscheiden.

${\displaystyle L^{\infty }(\Omega ,X)}$  ist ein linearer Raum mit Norm

${\displaystyle \|[f]\|_{L^{\infty }}=\mathrm {ess} \sup \|f\|_{X},\ f\in [f]}$ .

Diese Norm ist unabhängig von der Wahl des Repräsentanten ${\displaystyle f}$  in der Äquivalenzklasse ${\displaystyle [f]}$ . Mit dieser Norm wird ${\displaystyle L^{\infty }(\Omega ,X)}$  zu einem Banachraum. In der mathematischen Literatur verzichtet man auf die eckigen Klammern, die für die Äquivalenzklasse von ${\displaystyle f}$  stehen. In der Regel schreibt man einfach ${\displaystyle f}$  und weist den Leser darauf hin, dass die auftretenden Gleichungen nur bis auf Nullmengen zu verstehen sind.

Betrachtet man die Dirichletsche Sprungfunktion auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$  versehen mit dem Lebesgue-Maß, so ist das Supremum ${\displaystyle 1}$ . Da die Menge der rationalen Zahlen aber eine Lebesgue-Nullmenge ist, ist das wesentliche Supremum ${\displaystyle 0}$ .

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, S. 223.
• Wladimir I. Smirnow: Lehrbuch der höheren Mathematik (= Hochschulbücher für Mathematik. Bd. 6). Band 5. 11. Auflage. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1991, ISBN 3-817-11303-X, S. 232, Nr. 6.

1. ↑ Jürgen Heine: Topologie und Funktionalanalysis. De Gruyter, 2012, ISBN 978-3-486-71968-0, S. 406.