Träger (Mathematik)

Der Träger von ${\displaystyle f}$  wird meist mit ${\displaystyle \operatorname {Tr} (f)}$ ^[1] oder ${\displaystyle \operatorname {supp} (f)}$  bezeichnet.

Sei ${\displaystyle A}$  ein topologischer Raum und ${\displaystyle f\colon A\to \mathbb {R} }$  eine Funktion. Der Träger von ${\displaystyle f}$  besteht dann aus der abgeschlossenen Hülle der Nichtnullstellenmenge von ${\displaystyle f}$ , formal:

${\displaystyle \operatorname {Tr} (f)=\operatorname {supp} (f):={\overline {\{x\in A\mid f(x)\neq 0\}}}}$ 

Sei ${\displaystyle \Omega }$  eine offene Teilmenge des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$  und ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\Omega )}$  eine Distribution. Man sagt, dass ein Punkt ${\displaystyle x_{0}\in \Omega }$  zum Träger von ${\displaystyle T}$  gehört, und schreibt ${\displaystyle x_{0}\in \mathrm {supp} (T)}$ , wenn für jede offene Umgebung ${\displaystyle U\subset \Omega }$  von ${\displaystyle x_{0}}$  eine Funktion ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(U)}$  existiert mit ${\displaystyle \;T(\phi )\neq 0}$ .

Falls ${\displaystyle T}$  eine reguläre Distribution ${\displaystyle T=T_{f}}$  mit stetigem f ist, so ist diese Definition äquivalent zur Definition des Trägers einer Funktion (der Funktion f).

Ist ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$  mit ${\displaystyle f(x)=x}$ , dann ist ${\displaystyle \operatorname {supp} (f)=\mathbb {R} }$ , denn die Nichtnullstellenmenge von ${\displaystyle f}$  ist ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \left\{0\right\}}$ , deren Abschluss ganz ${\displaystyle \mathbb {R} }$  ist. Dasselbe gilt für jede Polynom-Funktion außer der Nullfunktion.

Ist ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$  mit ${\displaystyle f(x)=1}$ , falls ${\displaystyle \left|x\right|<1}$ , sonst ${\displaystyle 0}$ , dann ist ${\displaystyle \operatorname {supp} (f)}$  die Menge ${\displaystyle \left\{x:\left|x\right|\leq 1\right\}}$ .

Ist ${\displaystyle \chi _{\mathbb {Q} }}$  die charakteristische Funktion von ${\displaystyle \mathbb {Q} :\chi _{\mathbb {Q} }(x)=1}$ , falls ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} }$ , und ${\displaystyle \chi _{\mathbb {Q} }(x)=0}$ , falls ${\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$ , dann ist der Träger ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , also der Abschluss von ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ .

Sei ${\displaystyle U}$  eine offene Teilmenge des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ . Die Menge aller stetigen Funktionen von ${\displaystyle U}$  nach ${\displaystyle \mathbb {R} }$  mit kompaktem Träger bildet einen Vektorraum, der mit ${\displaystyle C_{c}(U)}$  bezeichnet wird.

Die Menge ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$  aller glatten (unendlich oft stetig differenzierbaren) Funktionen mit kompaktem Träger in ${\displaystyle U}$  spielt als Menge der „Testfunktionen“ eine große Rolle in der Theorie der Distributionen.

Die Delta-Distribution ${\displaystyle \delta (f):=f(0)}$  hat den Träger ${\displaystyle \left\{0\right\}}$ , denn mit ${\displaystyle \omega :=\mathbb {R} ^{d}\setminus \left\{0\right\}}$  gilt: Ist ${\displaystyle f}$  aus ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\omega )}$ , dann ist ${\displaystyle \delta (f)=0}$ .

Es sei ${\displaystyle F}$  eine Garbe abelscher Gruppen über einem topologischen Raum ${\displaystyle X}$ .

Für eine offene Teilmenge ${\displaystyle U\subseteq X}$  und einen Schnitt ${\displaystyle s\in \Gamma (U,F)}$  heißt der Abschluss der Menge derjenigen Punkte ${\displaystyle x\in X}$ , für die das Bild von ${\displaystyle s}$  im Halm ${\displaystyle F_{x}}$  ungleich null ist, der Träger von ${\displaystyle s}$ , meist mit ${\displaystyle \mathrm {supp} \,s}$  oder ${\displaystyle |s|}$  bezeichnet.

Insbesondere bezeichnet man als Träger eines auf einer Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$  definierten Vektorfeldes ${\displaystyle F\colon M\to TM}$  den Abschluss der Menge der Punkte, in denen das Vektorfeld nicht Null ist.

Der Träger eines Schnittes ist nach Definition stets abgeschlossen.

Der Träger von ${\displaystyle F}$  selbst ist die Menge der Punkte ${\displaystyle x\in X}$ , für die der Halm ${\displaystyle F_{x}}$  ungleich null ist.

Der Träger einer Garbe ist nicht notwendigerweise abgeschlossen, der Träger einer kohärenten Modulgarbe hingegen schon.

• Roger Godement: Théorie des faisceaux. Hermann, Paris 1958.

1. ↑ Bei der Schreibweise ${\displaystyle Tr(f)}$  gibt es möglicherweise Verwechslungsgefahr mit der Spur einer quadratischen Matrix, die auf Englisch trace heißt.