Sublineare Funktion

Eine reellwertige Funktion ${\displaystyle f\colon V\rightarrow \mathbb {R} }$  auf einem Vektorraum ${\displaystyle V}$  über den reellen oder komplexen Zahlen heißt sublinear, wenn für alle positiven reellen Zahlen ${\displaystyle \alpha >0}$  und für alle Vektoren ${\displaystyle x,y\in V}$  die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:^[1]

• ${\displaystyle f(\alpha \cdot x)=\alpha \cdot f(x)}$     (Positive Homogenität)
• ${\displaystyle f(x+y)\leq f(x)+f(y)}$     (Subadditivität)

Die hierbei geforderte Homogenität ist vom Grad eins. Die Einschränkung von ${\displaystyle \alpha }$  auf die positiven reellen Zahlen in der Definition ist wichtig, denn subadditive und für alle reelle Zahlen homogene Funktionen sind bereits additiv und damit linear.^[2]

 

• Reellwertige lineare Funktionen sind sublinear; gleiches gilt auch für den Betrag reell- oder komplexwertiger linearer Funktionen.
• Normen und Halbnormen sind sublinear; ebenso Minkowski-Funktionale auf konvexen und absorbierenden Mengen.
• Für beschränkte komplexwertige Folgen ist der Limes superior der Realteile der Folgenglieder eine sublineare Abbildung.^[1]

Im Nullpunkt besitzt eine sublineare Funktion immer den Wert Null, was aus der positiven Homogenität durch Setzen von ${\displaystyle x=0}$  über

${\displaystyle f(0)=f(\alpha \cdot 0)=\alpha \cdot f(0)~~\forall \alpha >0~\Rightarrow ~f(0)=0}$ 

folgt. Daher kann die Forderung der positiven Homogenität auch auf die nichtnegativen reellen Zahlen ${\displaystyle \alpha \geq 0}$  erweitert werden. Eine sublineare Funktion kann aber auch noch weitere Nullstellen haben; insbesondere ist die Nullfunktion ${\displaystyle f\equiv 0}$  sublinear.

Sublineare Funktionen können grundsätzlich negative Werte annehmen. Ist aber ${\displaystyle f(x)<0}$  an einer Stelle ${\displaystyle x\in V}$ , so muss aufgrund von

${\displaystyle 0=f(0)=f(x+(-x))\leq f(x)+f(-x)}$ 

an der Stelle ${\displaystyle -x}$  gelten, dass ${\displaystyle f(-x)>0}$  ist. Eine sublineare Funktion nimmt also an mindestens so vielen Stellen positive Werte an, wie sie negative Werte annimmt.

Jede sublineare Funktion ist konvex, was für reelle ${\displaystyle 0\leq t\leq 1}$  aus der Subadditivität und der positiven Homogenität direkt über

${\displaystyle f(tx+(1-t)y)\leq f(tx)+f((1-t)y)=tf(x)+(1-t)f(y)}$ 

folgt. Umgekehrt ist jede positiv homogene und konvexe Funktion subadditiv und damit sublinear, was durch Setzen von ${\displaystyle t={\tfrac {1}{2}}}$  mittels

${\displaystyle f(x+y)=2f\left({\tfrac {1}{2}}x+{\tfrac {1}{2}}y\right)\leq 2\left(f\left({\tfrac {1}{2}}x\right)+f\left({\tfrac {1}{2}}y\right)\right)=f(x)+f(y)}$ 

gezeigt werden kann.^[3] In der obigen Definition kann also die Subadditivität auch durch Konvexität ersetzt werden.

Eine wichtige Anwendung von sublinearen Funktionen findet sich im Satz von Hahn-Banach. Demnach besitzt ein lineares Funktional auf einem Untervektorraum eines reellen Vektorraums, das von einer sublinearen Funktion beschränkt wird, eine lineare Fortsetzung auf dem Gesamtraum, die ebenfalls durch diese sublineare Funktion beschränkt wird. Als Konsequenz stellt der Satz von Hahn-Banach die Existenz von genügend vielen stetigen und linearen Funktionalen auf einem normierten Raum sicher und bildet somit eine zentrale Grundlage für die Funktionalanalysis.

• Dirk Werner: Funktionalanalysis. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6. 
• Peter Kosmol: Optimierung und Approximation. de Gruyter, 2010, ISBN 978-3-11-021814-5. 

1. ↑ ^{a b} Werner: Funktionalanalysis. S. 93. 
2. ↑ da dann ${\displaystyle f(x+y)\,=\,-f((-x)+(-y))\,\geq \,-(f(-x)+f(-y))\,=\,f(x)+f(y)}$  und somit ${\displaystyle f(x+y)\,=\,f(x)+f(y)}$  gilt
3. ↑ Kosmol: Optimierung und Approximation. S. 46.