Stieltjesintegral

 

 

Es seien ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$  mit ${\displaystyle a<b}$  und ${\displaystyle f,h\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$  zwei Funktionen. Dabei wird vorausgesetzt, dass ${\displaystyle f}$ , der Integrand, beschränkt ist und ${\displaystyle h}$ , der Integrator, (nicht notwendigerweise streng) monoton wächst. Das dazugehörige Riemann-Stieltjes-Integral von ${\displaystyle f}$  bezüglich ${\displaystyle h}$  auf dem Intervall ${\displaystyle [a,b]}$  wird wie das Riemannintegral über feine Zerlegungen des Intervalls oder über Ober- und Untersummen (siehe dort) definiert. Jedoch lauten die Formeln für die Ober- und Untersumme bei Stieltjes-Integralen statt

${\displaystyle {\overline {S_{N}}}=\sum _{i=1}^{N}\sup {\Big \{}f(t):t\in [t_{i-1},t_{i}]{\Big \}}\cdot (t_{i}-t_{i-1})}$  (Obersumme) und

${\displaystyle {\underline {S_{N}}}=\sum _{i=1}^{N}\inf {\Big \{}f(t):t\in [t_{i-1},t_{i}]{\Big \}}\cdot (t_{i}-t_{i-1})}$  (Untersumme)

nun

${\displaystyle {\overline {S_{N}}}=\sum _{i=1}^{N}\sup {\Big \{}f(t):t\in [t_{i-1},t_{i}]{\Big \}}\cdot (h(t_{i})-h(t_{i-1}))}$  (Stieltjes-Obersumme) und

${\displaystyle {\underline {S_{N}}}=\sum _{i=1}^{N}\inf {\Big \{}f(t):t\in [t_{i-1},t_{i}]{\Big \}}\cdot (h(t_{i})-h(t_{i-1}))}$  (Stieltjes-Untersumme).

Konvergieren Ober- und Untersumme gegen denselben Wert, so heißt ${\displaystyle f\!\,}$  bezüglich ${\displaystyle h\!\,}$  auf ${\displaystyle [a,b]\!\,}$  Riemann-Stieltjes-integrierbar, und der gemeinsame Grenzwert wird als Wert des Integrals bezeichnet. Die Schreibweise hierfür ist

${\displaystyle \int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} h\quad {\text{oder}}\quad \int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} h(t).}$ 

Der Integrator ${\displaystyle h}$  regelt also, wie stark ${\displaystyle f}$  an verschiedenen Stellen gewichtet wird. Statt Integrator ist deshalb auch die Bezeichnung Gewichtsfunktion üblich. Offensichtlich kann das gewöhnliche Riemannintegral als Spezialfall des Riemann-Stieltjes-Integrals mit ${\displaystyle h(x)=x}$  für alle ${\displaystyle x}$  (Identität) aufgefasst werden. Im Unterschied zum Riemann-Integral setzt man zwar standardmäßig voraus, dass die Integrandenfunktion ${\displaystyle f(t)}$  stetig ist, die Integratorfunktion ${\displaystyle h(t)}$  kann aber komplizierter sein:

Das Riemann-Stieltjes-Integral existiert z. B. bei stetiger Funktion ${\displaystyle f}$  selbst mit der Cantor-Funktion als Integrator ${\displaystyle h}$  (das ist eine monoton von 0 auf 1 wachsende stetige Funktion, deren Ableitung fast überall 0 ist, nämlich bis auf eine überabzählbare Nullmenge). Es existiert sogar mit einer unstetigen, aber monotonen Sprungfunktion ${\displaystyle h,}$  etwa für ${\displaystyle h(t)=0}$  für alle ${\displaystyle t<0}$ , aber ${\displaystyle h(t)=1}$  für ${\displaystyle t\geq 0}$  (Heaviside-Funktion).

Das Lebesgue-Stieltjes-Integral ist ein Spezialfall des Lebesgue-Integrals. Hierbei wird über ein Borel-Maß ${\displaystyle \mu }$  integriert, das im Fall des Lebesgue-Stieltjes-Integrals durch die monotone Funktion ${\displaystyle h}$  definiert wird und im Folgenden mit ${\displaystyle \mu _{h}}$  bezeichnet wird. Das Maß ${\displaystyle \mu _{h}}$  ist festgelegt durch seine Werte auf Intervallen:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{h}([x,y[)&=h(y-)-h(x-),\\\mu _{h}([x,y])&=h(y+)-h(x-),\\\mu _{h}(]x,y])&=h(y+)-h(x+)\end{aligned}}}$ 

Hier bezeichnet ${\displaystyle h(y-)}$  den linksseitigen und ${\displaystyle h(y+)}$  den rechtsseitigen Grenzwert der Funktion ${\displaystyle h}$  an der Stelle ${\displaystyle y}$ . Ist ${\displaystyle h}$  die Identität, so handelt es sich um das Lebesgue-Maß. Ist ${\displaystyle f}$  bezüglich dieses Maßes ${\displaystyle \mu _{h}}$  Lebesgue-integrierbar, so definiert man das zugehörige Lebesgue-Stieltjes-Integral als

${\displaystyle \int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} h=\int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} \mu _{h},}$ 

wobei die rechte Seite als gewöhnliches Lebesgue-Integral aufzufassen ist.

Für eine eingeschränkte Menge nicht monoton wachsender Integratoren kann das Stieltjes-Integral ebenfalls sinnvoll definiert werden, nämlich für solche mit endlicher Variation auf ${\displaystyle [a,b]}$ . Funktionen endlicher Variation können nämlich stets als Differenz zweier monoton wachsender Funktionen dargestellt werden, also ${\displaystyle h=h_{1}-h_{2}}$ , wobei ${\displaystyle h_{1},h_{2}\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$  monoton wachsend sind. Das zugehörige Stieltjes-Integral (wahlweise im Riemannschen oder Lebesgueschen Sinne) ist dann definiert als

${\displaystyle \int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} h:=\int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} h_{1}-\int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} h_{2}}$ .

Es kann gezeigt werden, dass diese Definition sinnvoll, d. h. wohldefiniert (also unabhängig von der speziellen Wahl der Zerlegung) ist.

• Wie das Riemann- und das Lebesgue-Integral ist auch das Stieltjes-Integral linear im Integranden:

  ${\displaystyle \int _{a}^{b}(\alpha f+\beta g)\,\mathrm {d} h=\alpha \int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} h+\beta \int _{a}^{b}g\,\mathrm {d} h}$ 

für Konstanten ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }$ , falls die betrachteten Integrale existieren.

• Weiterhin ist das Stieltjes-Integral auch linear im Integrator, also

  ${\displaystyle \int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} (\alpha g+\beta h)=\alpha \int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} g+\beta \int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} h}$ 

für Konstanten ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }$  und Funktionen ${\displaystyle g,h}$  endlicher Variation.

• Das Integral ist invariant unter Translationen des Integrators, also

  ${\displaystyle \int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} (h+c)=\int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} h}$ 

für Konstanten ${\displaystyle c}$ .

• Treppenfunktionen als Integratoren: Ist ${\displaystyle f}$  stetig und ${\displaystyle h}$  eine Treppenfunktion, die in den Punkten ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}\in \,]a,b[}$  Sprünge der Höhe ${\displaystyle \Delta h_{1},\ldots ,\Delta h_{n}\in \mathbb {R} }$  besitzt, so gilt

  ${\displaystyle \int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} h=\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta h_{i}.}$ 

• Ist ${\displaystyle h}$  stetig differenzierbar, so gilt

  ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} h(x)=\int _{a}^{b}f(x)h'(x)\,\mathrm {d} x.}$ 

(Im Lebesgueschen Sinne: ${\displaystyle h\!\,'}$  ist die Dichte von ${\displaystyle \mu _{h}}$ .)

• Ist ${\displaystyle h}$  absolut stetig, so ist ${\displaystyle h}$  fast überall differenzierbar, die Ableitung ${\displaystyle h'}$  ist integrierbar und es gilt auch hier:

  ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} h(x)=\int _{a}^{b}f(x)h'(x)\,\mathrm {d} x.}$ 

• Für das Riemann-Stieltjes-Integral gilt folgende Regel zur partiellen Integration:^[1]

  ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} h(x)=f(b)h(b)-f(a)h(a)-\int _{a}^{b}h(x)\,\mathrm {d} f(x).}$ 

• Isidor P. Natanson: Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen. Unveränderter Nachdruck der 4. Auflage. Harri Deutsch, Thun u. a. 1981, ISBN 3-87-144-217-8.

1. ↑ Wolfgang Walter: Analysis. Band 2. 5., erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2002, ISBN 3-540-42953-0, S. 193 f.