Schwarzschild-Wurmloch

 

Die Schwarzschild-Metrik eines ungeladenen und nicht rotierenden Schwarzen Loches mit Masse ${\displaystyle M}$  ist gegeben durch:^[2]

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-\left(1-{\frac {r_{\mathrm {S} }}{r}}\right)c^{2}\mathrm {d} t^{2}+\left(1-{\frac {r_{\mathrm {S} }}{r}}\right)^{-1}\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}}$ ,

wobei

${\displaystyle r_{\mathrm {S} }={\frac {2GM}{c^{2}}}}$ 

der Schwarzschild-Radius ist. Die Stelle, an denen die Schwarzschild-Metrik singulär wird, ergibt ihren Ereignishorizont als ${\displaystyle r=r_{\mathrm {S} }}$ . Der Radiusparameter ${\displaystyle r}$  unterteilt die einzelnen Gebiete. Für ${\displaystyle 0\leq r\leq r_{\mathrm {S} }}$  ergibt sich die innere Metrik hinter dem Ereignishorizont, für ${\displaystyle r=r_{\mathrm {S} }}$  genau der Ereignishorizont und für ${\displaystyle r>r_{\mathrm {S} }}$  die äußere Metrik. Die Aneinanderklebung zweier äußerer Schwarzschild-Metriken geschieht am Ereignishorizont unter Verwendung der Tatsache, dass negative Zahlen keine reelle und positive Zahlen zwei reelle Wurzeln haben. Die das umsetzende Transformation ist ${\displaystyle u^{2}=r-r_{\mathrm {S} }}$ . Für ${\displaystyle u<0}$  ergibt sich das erste und für ${\displaystyle u>0}$  das zweite Universum, wobei ${\displaystyle u=0}$  ihre Verklebung bezeichnet.

Das Differential transformiert sich gemäß:

${\displaystyle 2u\mathrm {d} u=\mathrm {d} r}$ .

Der radienabhängige Teil der Schwarzschild-Metrik transformiert sich als:

${\displaystyle 1-{\frac {r_{\mathrm {S} }}{r}}={\frac {r-r_{\mathrm {S} }}{r}}={\frac {u^{2}}{u^{2}+r_{\mathrm {S} }}}}$ .

Beide Resultate eingesetzt in die Schwarzschild-Metrik ergibt sich die Metrik des Schwarzschild-Wurmloches als:

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-{\frac {u^{2}}{u^{2}+r_{\mathrm {S} }}}c^{2}\mathrm {d} t^{2}+4(u^{2}+r_{\mathrm {S} })\mathrm {d} u^{2}+(u^{2}+r_{\mathrm {S} })^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}}$ .

Die gewöhnliche Schwarzschild-Raumzeit ist topologisch der euklidische Raum ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{3}}$ . Die Entfernung der inneren Lösung (insbesondere der zentralen Singularität) überführt diese topologisch in ${\displaystyle \mathbb {R} \times (\mathbb {R} ^{3}\setminus \{0\})\cong \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{+}\times S^{2}}$ , was der Zerlegung in Zeit-, Radial- und Winkelkomponente entspricht. Die Verklebung zweier solcher Raumzeiten zu einem Schwarzschild-Wurmloch ist daher topologisch das Produkt ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times S^{2}}$ .

• Wurmloch
• Reissner-Nordström-Wurmloch
• Ellis-Wurmloch

1. ↑ A. Einstein and N. Rosen. Phys. Rev. 48, 73 (1935) - The Particle Problem in the General Theory of Relativity (aps.org)
2. ↑ K. Schwarzschild. On the gravitational field of a mass point according to Einstein's theory. arXiv:physics/9905030