Taylorreihe

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Approximation von ln(x) durch Taylorpolynome der Grade 1, 2, 3 bzw. 10 um die Entwicklungsstelle 1. Die Polynome konvergieren nur im Intervall (0, 2]. Der Konvergenzradius ist also 1.
Animation zur Approximation ln(1+x) an der Stelle x=0

Die Taylorreihe wird in der Analysis verwendet, um eine analytische Funktion in der Umgebung einer Stelle durch eine Potenzreihe darzustellen, die der Grenzwert der Taylor-Polynome ist. Diese Reihenentwicklung wird Taylor-Entwicklung genannt. Reihe und Entwicklung sind nach dem britischen Mathematiker Brook Taylor benannt.

Ist ein offenes Intervall, eine glatte Funktion und ein Element von , so heißt die unendliche Reihe


die Taylorreihe von mit Entwicklungsstelle . Hierbei bezeichnet die Fakultät von und die -te Ableitung von , wobei man setzt.

Die Reihe ist hier zunächst nur „formal“ zu verstehen. Das heißt, dass die Konvergenz der Reihe nicht vorausgesetzt ist. In der Tat gibt es Taylorreihen, die nicht überall konvergieren (für siehe obige Abbildung). Auch gibt es Taylorreihen, die zwar konvergieren, aber nicht gegen die Funktion, aus der die Taylorreihe gebildet wird – zum Beispiel für

Im Spezialfall wird die Taylorreihe auch Maclaurin-Reihe genannt.

Die Summe der ersten beiden Terme der Taylorreihe

nennt man auch Linearisierung von an der Stelle . Allgemeiner nennt man die Partialsumme

die für festes ein Polynom in der Variablen darstellt, das -te Taylorpolynom.

Die Taylorformel mit Restglied macht Aussagen darüber, wie dieses Polynom von der Funktion abweicht. Aufgrund der Einfachheit der Polynomdarstellung sowie der guten Anwendbarkeit der Restgliedformeln sind Taylorpolynome ein häufig angewandtes Hilfsmittel der Analysis, der Numerik, der Physik und der Ingenieurwissenschaften.

Die Taylorreihe zur Funktion ist eine Potenzreihe mit den Ableitungen

und somit folgt durch vollständige Induktion:

Übereinstimmung an der Entwicklungsstelle

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Wegen

stimmen an der Entwicklungsstelle die Taylorreihe und ihre Ableitungen mit der Funktion und deren Ableitungen überein:

Gleichheit mit der Funktion

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Im Fall einer analytischen Funktion stimmt die Taylorreihe mit dieser Potenzreihe überein, denn es gilt

und somit .

Wichtige Taylorreihen

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Exponentialfunktionen und Logarithmen

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Animation zur Taylorreihenentwicklung der Exponentialfunktion an der Stelle x=0

Die natürliche Exponentialfunktion wird auf ganz durch ihre Taylorreihe mit Entwicklungsstelle 0 dargestellt:

Beim natürlichen Logarithmus hat die Taylorreihe mit Entwicklungsstelle 1 den Konvergenzradius 1, d. h., für wird die Logarithmusfunktion durch ihre Taylorreihe dargestellt (vgl. Abb. oben):

Schneller konvergiert die Reihe

und daher ist sie geeigneter für praktische Anwendungen.

Wählt man für ein , so ist und .

Trigonometrische Funktionen

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Approximation von sin(x) durch Taylorpolynome T vom Grad 1, 3, 5 und 7
Animation: Die Kosinusfunktion um die Stelle 0 entwickelt, in sukzessiver Näherung

Für die Entwicklungsstelle (Maclaurin-Reihen) gilt:

Hierbei ist die -te Bernoulli-Zahl und die -te Eulersche Zahl.

Produkt von Taylorreihen

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Die Taylorreihe eines Produkts zweier reeller Funktionen und kann berechnet werden, wenn die Ableitungen dieser Funktionen an derselben Entwicklungsstelle bekannt sind:

Mit Hilfe der Produktregel ergibt sich dann:

Sind die Taylorreihen der beiden Funktionen explizit gegeben:

so gilt

mit

Dies entspricht der Cauchy-Produktformel der beiden Potenzreihen.

Seien , und . Dann gilt

und wir erhalten

in beiden Fällen also

und somit

Diese Taylorentwicklung wäre allerdings auch direkt über die Berechnung der Ableitungen von möglich:

Taylorreihen nichtanalytischer Funktionen

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Dass die Taylorreihe an jeder Entwicklungsstelle einen positiven Konvergenzradius hat und in ihrem Konvergenzbereich mit übereinstimmt, gilt nicht für jede beliebig oft differenzierbare Funktion. Aber auch in den folgenden Fällen nichtanalytischer Funktionen wird die zugehörige Potenzreihe als Taylorreihe bezeichnet.

Konvergenzradius 0

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Die Funktion

ist auf ganz beliebig oft differenzierbar, aber ihre Taylorreihe in ist

und somit nur für konvergent (nämlich gegen bzw. gleich 1).[1]

Eine Funktion, die in einer Entwicklungsstelle nicht in eine Taylorreihe entwickelt werden kann

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Die Taylorreihe einer Funktion konvergiert nicht immer gegen die Funktion. Im folgenden Beispiel stimmt die Taylorreihe auf keiner Umgebung um die Entwicklungsstelle mit der Ausgangsfunktion überein:

Als reelle Funktion ist beliebig oft stetig differenzierbar, wobei die Ableitungen in jedem Punkt (insbesondere für ) ausnahmslos 0 sind. Die Taylorreihe um den Nullpunkt ist also die Nullfunktion und stimmt in keiner Umgebung der 0 mit überein. Daher ist nicht analytisch. Die Taylorreihe um eine Entwicklungsstelle konvergiert zwischen und gegen . Auch mit einer Laurentreihe lässt sich diese Funktion nicht approximieren, weil die Laurentreihe, die die Funktion für korrekt wiedergibt, für nicht konstant 0 ergibt.

Mehrdimensionale Taylorreihe

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Sei nun im Folgenden eine beliebig oft stetig differenzierbare Funktion mit Entwicklungsstelle .

Dann kann man zur Funktionsauswertung eine mit und parametrisierte Familie von Funktionen einführen, die man so definiert:

ist dann, wie man durch Einsetzen von feststellt, gleich .

Berechnet man nun von die Taylorentwicklung am Entwicklungspunkt und wertet sie bei aus, so erhält man die mehrdimensionale Taylorentwicklung von :

Mit der mehrdimensionalen Kettenregel und den Multiindex-Notationen für

erhält man ferner:

Mit der Schreibweise erhält man für die mehrdimensionale Taylorreihe bzgl. des Entwicklungspunktes

in Übereinstimmung zum eindimensionalen Fall, falls man die Multiindex-Notation verwendet.

Ausgeschrieben sieht die mehrdimensionale Taylorreihe wie folgt aus:

Zum Beispiel gilt nach dem Satz von Schwarz für die Taylorreihe einer Funktion , die von abhängt, an der Entwicklungsstelle :

Die Taylorreihe lässt sich auch in der Form darstellen, wobei mit der gewöhnliche Ableitungsoperator gemeint ist. Der Operator mit wird als Translationsoperator bezeichnet. Beschränkt man sich auf Funktionen, die global durch ihre Taylorreihe darstellbar sind, so gilt . In diesem Fall gilt also

Für Funktionen von mehreren Variablen lässt sich durch die Richtungsableitung austauschen. Es ergibt sich

Man gelangt von links nach rechts, indem man zunächst die Exponentialreihe einsetzt, dann den Gradienten in kartesischen Koordinaten sowie das Standardskalarprodukt und schließlich das Multinomialtheorem verwendet.

Für die Taylorreihe lässt sich auch ein diskretes Analogon finden. Man definiert dazu den Differenzenoperator durch . Offensichtlich gilt nun , wobei mit der Identitätsoperator gemeint ist. Potenziert man nun auf beiden Seiten mit und verwendet die binomische Reihe, so ergibt sich

Man gelangt zur Formel

wobei mit die absteigende Faktorielle gemeint ist. Diese Formel ist als newtonsche Formel zur Polynominterpolation bei äquidistanten Stützstellen bekannt. Sie stimmt für alle Polynomfunktionen, braucht aber für andere Funktionen nicht unbedingt korrekt zu sein.

Verallgemeinerung

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Die koordinatenfreie Verallgemeinerung der Taylorreihe ist das Konzept des Jets.

Einzelnachweise

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  1. Taylor-Reihe mit Konvergenzradius Null (Wikibooks).