Quelltext der Seite Total unzusammenhängender Raum

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'''Total unzusammenhängende Räume''' werden im mathematischen Teilgebiet der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] untersucht. In jedem [[Topologischer Raum|topologischen Raum]] sind einelementige Teilmengen und die leere Menge [[Zusammenhängender Raum|zusammenhängend]]. Die total unzusammenhängenden Räume sind dadurch gekennzeichnet, dass es in ihnen keine weiteren zusammenhängenden Teilmengen gibt.

Das wohl bekannteste Beispiel ist die [[Cantor-Menge]]. Total unzusammenhängende Räume treten in vielen mathematischen Theorien auf.

== Definition ==
Ein topologischer Raum heißt total unzusammenhängend, wenn es neben der leeren und den einelementigen Teilmengen keine weiteren zusammenhängenden Teilmengen gibt.

== Beispiele ==
* [[Diskretheit|Diskrete Räume]], [[Nulldimensionaler Raum|nulldimensionale Räume]], [[Total separierter Raum|total separierte Räume]] sowie [[Extremal unzusammenhängend|extremal unzusammenhängende Räume]] sind total unzusammenhängend.
* <math>\Q</math> mit der [[Teilraumtopologie]] von <math>\R</math> ist total unzusammenhängend. Ist nämlich <math>X\subset \Q</math> eine Teilmenge mit mindestens zwei Elementen, so gibt es zwischen diesen eine [[irrationale Zahl]] <math>a</math>. Der Teilraum <math>X</math> ist dann die Vereinigung der beiden relativ offenen Mengen <math>\{x\in X; x<a\}</math> und <math>\{x\in X; x>a\}</math> und daher nicht zusammenhängend.
* <math>\R\setminus \Q</math> mit der Teilraumtopologie von <math>\R</math> ist total unzusammenhängend.
* Die [[Cantor-Menge]] ist ein total unzusammenhängender [[Kompakter Raum|kompakter]] [[Hausdorffraum]].
* Der [[Baire-Raum (speziell)|Baire-Raum]].
* Die [[Sorgenfrey-Gerade]] und die [[Sorgenfrey-Ebene]] sind total unzusammenhängend.
* [[Proendliche Gruppe|Proendliche Gruppen]] sind gerade die total unzusammenhängenden kompakten [[topologische Gruppe|topologischen Gruppen]].

== Eigenschaften ==
* Unterräume und Produkte total unzusammenhängender Räume sind wieder total unzusammenhängend.<ref>Philip J. Higgins: ''An Introduction to Topological Groups'' (= ''London Mathematical Society Lecture Note Series.'' Bd. 15). Cambridge University Press, London u. a. 1974 (recte 1975), ISBN 0-521-20527-1, Kapitel II.7, Satz 9.</ref>
* Jede stetige Abbildung von einem zusammenhängenden Raum in einen total unzusammenhängenden Raum ist konstant, denn das Bild ist wieder zusammenhängend und daher einelementig.

== Anwendungen ==

=== Boolesche Algebren ===
Nach dem [[Darstellungssatz von Stone]] gibt es zu jeder [[Boolesche Algebra|Booleschen Algebra]] einen bis auf [[Homöomorphie]] eindeutig bestimmten, total unzusammenhängenden, kompakten Hausdorffraum <math>X</math>, so dass die Boolesche Algebra isomorph zur Algebra der offen-abgeschlossenen Teilmengen von <math>X</math> ist.<ref>[[Paul Halmos|Paul R. Halmos]]: ''Lectures on Boolean Algebra.'' Springer, New York NY u. a. 1974, ISBN 0-387-90094-2, § 18, Theorem 6, Theorem 7.</ref> Daher nennt man total unzusammenhängende, kompakte Hausdorffräume in diesem Zusammenhang auch ''Boolesche Räume''.

=== C*-Algebren ===
Jede kommutative [[C*-Algebra]] <math>A</math> ist nach dem [[Satz von Gelfand-Neumark]] [[Isometrie|isometrisch]] [[Isomorphismus|isomorph]] zur Algebra der stetigen Funktionen <math>X\rightarrow \Complex</math> für einen bis auf Homöomorphie eindeutig bestimmten lokalkompakten Hausdorffraum <math>X_A</math>. Es gilt<ref>Kenneth R. Davidson: ''C*-Algebras by Example'' (= ''Fields Institute Monographs.'' Bd. 6). American Mathematical Society, Providence RI 1996, ISBN 0-8218-0599-1, Example III.2.5.</ref>:
* Eine kommutative, [[Separabler Raum|separable]] C*-Algebra ist genau dann [[AF-C*-Algebra]], wenn <math>X_A</math> total unzusammenhängend ist.

=== p-adische Zahlen ===
Die ganzen [[P-adische Zahl|p-adischen Zahlen]] <math>\Z_p</math> zu einer [[Primzahl]] <math>p</math> sind bekanntlich als Reihen der Form <math>\textstyle \sum_{i=0}^\infty a_ip^i</math> mit <math>a_i \in\{0,\ldots,p-1\}</math> darstellbar. Damit kann man <math>\Z_p</math> mit <math>\{0,\ldots,p-1\}^{\N_0}</math> identifizieren, was <math>\Z_p</math> zu einem total unzusammenhängenden, kompakten Hausdorffraum macht. Dann ist der Körper der p-adischen Zahlen <math>\textstyle \Q_p = \bigcup_{n=0}^\infty p^{-n}\Z_p</math> ein [[Sigma-kompakt|σ-kompakter]], lokalkompakter, total unzusammenhängender Raum.

== Einzelnachweise ==
<references/>

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[[Kategorie:Zusammenhang]]

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