„Heun-Verfahren“ – Versionsunterschied
[gesichtete Version] | [gesichtete Version] |
K →Verfahren: Genitiv-s <http://canoo.net/inflection/verfahren:N:N> |
Tippfehler korr. |
||
(18 dazwischenliegende Versionen von 12 Benutzern werden nicht angezeigt) | |||
Zeile 1: | Zeile 1: | ||
Das '''Heun-Verfahren''', benannt nach [[Karl Heun (Mathematiker)|Karl Heun]], ist ein einfaches Verfahren zur [[Numerik | numerischen]] Lösung von [[Anfangswertproblem| Anfangswertaufgaben]]. |
Das '''Heun-Verfahren''', benannt nach [[Karl Heun (Mathematiker)|Karl Heun]], ist ein einfaches Verfahren zur [[Numerik | numerischen]] Lösung von [[Anfangswertproblem| Anfangswertaufgaben]]. |
||
Es ist ein [[Einschrittverfahren]] und |
Es ist ein [[Einschrittverfahren]] und ist ein Beispiel für ein zweistufiges explizites [[Runge-Kutta-Verfahren]].<ref name="Schwarz354">{{Literatur |Autor=Hans Rudolf Schwarz & Norbert Köckler |Titel=Numerische Mathematik |Auflage=6 |Verlag= Vieweg+Teubner Verlag |Ort= |Datum=2006 |ISBN=978-3-8351-9064-1 |Seiten=354}}</ref> |
||
Im Gegensatz zum [[Explizites Euler-Verfahren| |
Im Gegensatz zum [[Explizites Euler-Verfahren| expliziten Euler-Verfahren]] erfolgt die Näherung über ein Trapez und nicht über ein Rechteck. |
||
==Verfahren== |
==Verfahren== |
||
Zur numerischen Lösung des |
Zur numerischen Lösung des Anfangswertproblems<ref name="Schwarz354" /> |
||
:<math> |
:<math> y'=f(t,y), \quad \quad y(t_0)=y_0 </math> |
||
für eine gewöhnliche Differentialgleichung mit dem Verfahren von Heun wähle man eine |
für eine gewöhnliche Differentialgleichung mit dem Verfahren von Heun wähle man eine Diskretisierungsschrittweite |
||
<math> h>0 </math>, betrachte die diskreten Zeitpunkte |
<math> h>0 </math>, betrachte die diskreten Zeitpunkte |
||
:<math> |
:<math> t_{k+1}=t_0+kh, \quad \quad k=0,1,2,\dots </math> |
||
und berechne zunächst analog zum expliziten Euler-Verfahren |
und berechne zunächst analog zum expliziten Euler-Verfahren |
||
:<math> |
:<math> y^{[P]}_{k+1}=y_k+hf(t_k,y_k) \quad,\quad k=0,1,2,\dots </math> |
||
und dann |
und dann |
||
:<math> |
:<math> y_{k+1}=y_k+\frac{1}{2}h(f(t_k,y_k)+f(t_{k+1},y^{[P]}_{k+1})) \quad,\quad k=0,1,2,\dots </math> |
||
was sich umformen lässt zu |
was sich umformen lässt zu |
||
:<math> |
:<math> y_{k+1}=\frac{1}{2} y_k+ \frac{1}{2} (y_{k+1}^{[P]} + h f(t_{k+1},y^{[P]}_{k+1})) \quad,\quad k=0,1,2,\dots </math> |
||
Die <math>y_k</math> sind die Näherungswerte der tatsächlichen Lösungsfunktion <math>y(t)</math> zu den Zeitpunkten <math>t_k</math>. |
|||
Mit <math>h</math> wird die [[Schrittweitensteuerung|Schrittweite]] bezeichnet. Verkleinert man diese, so wird der Verfahrensfehler kleiner (sprich: die <math>y_k</math> liegen näher am tatsächlichen Funktionswert <math>y(t_k)</math>). Der globale Fehler des Verfahrens von Heun geht mit <math>h^2</math> gegen null; man spricht auch von [[Konvergenzordnung]] 2. |
|||
<math>h</math> bezeichnet man als Schrittweite. Verkleinert man die Schrittweite, so wird der Verfahrensfehler kleiner (sprich: die <math>x_i</math> liegen näher am tatsächlichen Funktionswert x(t<sub>i</sub>)). Der globale Fehler des Verfahrens von Heun geht mit <math>h^2</math> gegen Null; man spricht auch von [[Konvergenzordnung]] 2. |
|||
== Ähnliche Einschrittverfahren == |
== Ähnliche Einschrittverfahren == |
||
Zeile 35: | Zeile 34: | ||
* [[Runge-Kutta-Verfahren]] |
* [[Runge-Kutta-Verfahren]] |
||
* [[Klassisches Runge-Kutta-Verfahren]] |
* [[Klassisches Runge-Kutta-Verfahren]] |
||
== Einzelnachweise == |
|||
<references /> |
|||
[[Kategorie:Numerische Mathematik]] |
[[Kategorie:Numerische Mathematik]] |
||
[[Kategorie: |
[[Kategorie:Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen]] |
Aktuelle Version vom 10. März 2024, 19:15 Uhr
Das Heun-Verfahren, benannt nach Karl Heun, ist ein einfaches Verfahren zur numerischen Lösung von Anfangswertaufgaben. Es ist ein Einschrittverfahren und ist ein Beispiel für ein zweistufiges explizites Runge-Kutta-Verfahren.[1]
Im Gegensatz zum expliziten Euler-Verfahren erfolgt die Näherung über ein Trapez und nicht über ein Rechteck.
Verfahren
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Zur numerischen Lösung des Anfangswertproblems[1]
für eine gewöhnliche Differentialgleichung mit dem Verfahren von Heun wähle man eine Diskretisierungsschrittweite , betrachte die diskreten Zeitpunkte
und berechne zunächst analog zum expliziten Euler-Verfahren
und dann
was sich umformen lässt zu
Die sind die Näherungswerte der tatsächlichen Lösungsfunktion zu den Zeitpunkten .
Mit wird die Schrittweite bezeichnet. Verkleinert man diese, so wird der Verfahrensfehler kleiner (sprich: die liegen näher am tatsächlichen Funktionswert ). Der globale Fehler des Verfahrens von Heun geht mit gegen null; man spricht auch von Konvergenzordnung 2.
Ähnliche Einschrittverfahren
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Explizites Euler-Verfahren (Eulersches Polygonzugverfahren)
- Implizites Euler-Verfahren
- Runge-Kutta-Verfahren
- Klassisches Runge-Kutta-Verfahren
Einzelnachweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ a b Hans Rudolf Schwarz & Norbert Köckler: Numerische Mathematik. 6. Auflage. Vieweg+Teubner Verlag, 2006, ISBN 978-3-8351-9064-1, S. 354.