Pětiúhelník

 

K zajímavým vlastnostem pravidelného pětiúhelníku patří jeho vztah ke zlatému řezu:

• poměr délek úhlopříčky a strany je roven zlatému řezu
• jedna úhlopříčka protíná druhou tak, že délky vzniklých částí jsou opět v poměru zlatého řezu

Úhlopříčky pravidelného pětiúhelníku uvnitř něho vymezují oblast, která má rovněž tvar pravidelného pětiúhelníku. Vnitřní a vnější pětiúhelník mají stejný střed (geometrie), jsou opačně orientovány a délky jejich stran jsou v poměru

${\displaystyle 1:(1-{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}})=1:{\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}={\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}}$ .

Obsah S pravidelného pětiúhelníku o délce strany a je:

${\displaystyle {\begin{aligned}S&={\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{4}}\cdot a^{2}={\frac {\sqrt {5(5+2{\sqrt {5}})}}{4}}\cdot a^{2}={\frac {5a^{2}\tan 54^{\circ }}{4}}\approx 1.720~a^{2}\end{aligned}}}$ 

 

Pravidelný pětiúhelník hrál významnou úlohu v mystice a symbolice pythagorejců. Od pravidelného pětiúhelníku je také odvozen symbol pentagramu, využívaný v pythagorejské sektě jako poznávací znamení. Jedním z důvodů, proč byl pravidelný pětiúhelník takto uctíván, bylo zřejmě to, že se v něm hned na několika místech ukazuje nejdokonalejší ze všech poměrů - poměr zlatého řezu.

Pentagon je jedním z mála pravidelných mnohoúhelníků (s lichým počtem stran), který lze sestrojit euklidovsky, tzn. jen kružítkem a pravítkem.

 

Konstrukce pravidelného pětiúhelníku byla známa již ve starověkém Řecku.

Zapíšeme-li pravidelný pětiúhelník do souřadnicové soustavy, kladouce střed kružnice opsané do bodu ${\displaystyle S}$  [${\displaystyle x_{0}}$ ; ${\displaystyle y_{0}}$ ], obdržíme při poloměru kružnice opsané ${\displaystyle k}$  a natočení vrcholu nejbližšího ose ${\displaystyle x}$  v jejím kladném směru o úhel ${\displaystyle \omega }$  oproti této ose následující souřadnice vrcholů:

	x	y
${\displaystyle X_{1}}$	${\displaystyle x_{0}+k\cdot \cos \omega \,\!}$	${\displaystyle y_{0}+k\cdot \sin \omega \,\!}$
${\displaystyle X_{2}}$	${\displaystyle x_{0}+k\cdot \cos(\omega +{\frac {2\pi }{5}})\,\!}$	${\displaystyle y_{0}+k\cdot \sin(\omega +{\frac {2\pi }{5}})\,\!}$
${\displaystyle X_{3}}$	${\displaystyle x_{0}+k\cdot \cos(\omega +{\frac {4\pi }{5}})\,\!}$	${\displaystyle y_{0}+k\cdot \sin(\omega +{\frac {4\pi }{5}})\,\!}$
${\displaystyle X_{4}}$	${\displaystyle x_{0}+k\cdot \cos(\omega +{\frac {6\pi }{5}})\,\!}$	${\displaystyle y_{0}+k\cdot \sin(\omega +{\frac {6\pi }{5}})\,\!}$
${\displaystyle X_{5}}$	${\displaystyle x_{0}+k\cdot \cos(\omega +{\frac {8\pi }{5}})\,\!}$	${\displaystyle y_{0}+k\cdot \sin(\omega +{\frac {8\pi }{5}})\,\!}$

Body vnitřního pětiúhelníku mají následující souřadnice:

	x	y
${\displaystyle Y_{1}}$	${\displaystyle x_{0}+k\cdot \cos(\omega +{\frac {\pi }{5}})\cdot {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}$	${\displaystyle y_{0}+k\cdot \sin(\omega +{\frac {\pi }{5}})\cdot {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}$
${\displaystyle Y_{2}}$	${\displaystyle x_{0}+k\cdot \cos(\omega +{\frac {3\pi }{5}})\cdot {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}$	${\displaystyle y_{0}+k\cdot \sin(\omega +{\frac {3\pi }{5}})\cdot {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}$
${\displaystyle Y_{3}}$	${\displaystyle x_{0}+k\cdot \cos(\omega +\pi )\cdot {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}$	${\displaystyle y_{0}+k\cdot \sin(\omega +\pi )\cdot {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}$
${\displaystyle Y_{4}}$	${\displaystyle x_{0}+k\cdot \cos(\omega +{\frac {7\pi }{5}})\cdot {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}$	${\displaystyle y_{0}+k\cdot \sin(\omega +{\frac {7\pi }{5}})\cdot {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}$
${\displaystyle Y_{5}}$	${\displaystyle x_{0}+k\cdot \cos(\omega +{\frac {9\pi }{5}})\cdot {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}$	${\displaystyle y_{0}+k\cdot \sin(\omega +{\frac {9\pi }{5}})\cdot {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}$

• Penroseovo dláždění

•   Obrázky, zvuky či videa k tématu pětiúhelník na Wikimedia Commons
•   Slovníkové heslo pětiúhelník ve Wikislovníku
•   Encyklopedické heslo Pětiúhelník v Ottově slovníku naučném ve Wikizdrojích
• Nová pětiúhelníková dlaždice unikala vědcům více než stovku let

Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace. Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.