Impedance

 

Komplexní impedanci ${\displaystyle Z}$  vyjádříme v algebraickém (kartézském) tvaru:

${\displaystyle Z=R+jX}$ ,

kde

• ${\displaystyle R>0}$  je rezistance; měří se v ohmech.
• ${\displaystyle X>0}$  je reaktance; měří se v ohmech.
• ${\displaystyle j\;=\;{\sqrt {-1}}}$  je imaginární jednotka (místo ${\displaystyle i}$  značíme ${\displaystyle j}$ ),

resp. v goniometrickém (polárním) tvaru:

${\displaystyle \mathbf {Z} =|\mathbf {Z} |(\cos \varphi +\mathrm {j} \sin \varphi )=|\mathbf {Z} |e^{\mathrm {j} \varphi }}$ ,

kde ${\displaystyle |\mathbf {Z} |={\sqrt {R^{2}+X^{2}}}}$  je absolutní hodnota impedance a ${\displaystyle \varphi =\arctan {({\frac {X}{R}})}}$  je úhel impedance.

Harmonický proud a napětí můžeme vyjádřit vztahy:

${\displaystyle i=I_{max}e^{j\omega t}}$ ; ${\displaystyle u=U_{max}e^{j(\omega t+\phi )}}$  kde ${\displaystyle \phi }$  je fázový posun napětí vůči proudu,

impedanci poté vyjádříme z Ohmova zákona: ${\displaystyle Z={\frac {u}{i}}={\frac {U_{max}}{I_{max}}}e^{j\phi }}$ 

 

Rezistorem o odporu ${\displaystyle R}$  procházející proud ${\displaystyle i}$  má vůči napětí ${\displaystyle u}$  nulový fázový posun:

${\displaystyle Z_{R}=R}$ 

Cívkou o indukčnosti ${\displaystyle L}$  procházející proud ${\displaystyle i}$  indukuje napětí ${\displaystyle u}$ :

${\displaystyle u=L{\frac {\operatorname {d} \!i}{\operatorname {d} \!t}}=L{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!t}}I_{max}e^{j\omega t}=j\omega LI_{max}e^{j\omega t}\,\,\,\,\,}$  tj. ${\displaystyle Z_{L}=j\omega L}$ 

Kondenzátor o kapacitě ${\displaystyle C}$  se při napětí ${\displaystyle u}$  nabije nábojem ${\displaystyle q}$ :

${\displaystyle -q=Cu=\int i\operatorname {d} \!t=\int I_{max}e^{j\omega t}\operatorname {d} \!t={\frac {1}{j\omega }}I_{max}e^{j\omega t}\,\,\,\,\,}$  tj. ${\displaystyle u={\frac {1}{j\omega C}}I_{max}e^{j\omega t}\,\,\,\,\,}$  tj. ${\displaystyle Z_{C}={\frac {1}{j\omega C}}}$ 

${\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {Z} _{1}+\mathbf {Z} _{2}=(R_{1}+R_{2})+\mathrm {j} (\mathrm {X} _{1}+\mathrm {X} _{2})\quad }$ 

${\displaystyle \mathbf {Z} =\left(\mathbf {Z} _{1}^{-1}+\mathbf {Z} _{2}^{-1}\right)^{-1}={\mathbf {Z} _{1}\mathbf {Z} _{2} \over \mathbf {Z} _{1}+\mathbf {Z} _{2}}\quad }$ 

Při měření impedance musíme napájet obvod vždy střídavým proudem, v případě proudu stejnosměrného bychom měřili pouze reálnou složku impedance.

Podíl efektivních hodnot napětí a proudu nám dá absolutní hodnotu impedance.

${\displaystyle |\mathbf {Z} |={\frac {U}{I}}}$ 

Velikost fázového posunu

${\displaystyle \ P=UI\cos \varphi }$ 

Velikost činného odporu

${\displaystyle P=RI^{2}=>R={\frac {P}{I^{2}}}}$ 

Velikost reaktance

${\displaystyle X=|\mathbf {Z} |\sin \varphi }$ 

Velikost vlastní indukčnosti (pro induktivní charakter zátěže)

${\displaystyle L={\frac {X}{2\pi f}}}$ 

Velikost elektrické kapacity (pro kapacitní charakter zátěže)

${\displaystyle \ C={\frac {1}{2\pi fX}}}$ 

Velikost hraniční impedance určuje, zda je vhodnější použít zapojení pro malé nebo pro velké impedance.

${\displaystyle |\mathbf {Z_{h}} |\approx {\sqrt {(R_{A}+R_{WP}){\frac {R_{V}R_{WN}}{R_{V}+R_{WN}}}}}}$ 

${\displaystyle R_{A}}$  - vnitřní odpor ampérmetru

${\displaystyle R_{V}}$  - vnitřní odpor voltmetru

${\displaystyle R_{WP}}$  - vnitřní odpor proudové cívky wattmetru

${\displaystyle R_{WN}}$  - vnitřní odpor napěťové cívky wattmetru

Tato metoda není přesná, protože velikosti jednotlivých složek zjišťujeme více výpočty. Používá se pouze pro orientační měření.

Neznámou impedanci ${\displaystyle Z_{x}}$  zapojíme paralelně se známým odporovým normálem ${\displaystyle R_{N}}$ . Třemi ampérmetry měříme efektivní hodnoty proudů v jednotlivých větvích i proud celkový. Metoda tří ampérmetrů je nejpřesnější, jsou-li proudy ${\displaystyle I_{R}}$  a ${\displaystyle I_{Z}}$  stejně velké a fázový posun způsobený měřenou impedancí je velký.

Velikost napětí

${\displaystyle \mathbf {U} =\mathbf {Z_{x}} \mathbf {I_{Z}} =R_{N}\mathbf {I_{R}} }$ 

Velikost absolutní hodnoty impedance

${\displaystyle \mathbf {|Z_{x}|} ={\frac {RI_{R}}{I_{Z}}}}$ 

Podle prvního Kirchhoffova zákona platí

${\displaystyle \mathbf {I} =\mathbf {I_{R}} +\mathbf {I_{Z}} }$ 

Podle fázorového diagramu platí pro úhel ${\displaystyle \varphi '}$  kosinová věta

${\displaystyle I^{2}=I_{Z}^{2}+I_{R}^{2}-2I_{R}I_{Z}\cos \varphi '}$ 

Pro ${\displaystyle \cos \varphi '}$  platí

${\displaystyle \cos \varphi '=-{\frac {I^{2}-I_{Z}^{2}-I_{R}^{2}}{2I_{R}I_{Z}}}}$ 

Pro úhel ${\displaystyle \varphi }$  platí

${\displaystyle \ \varphi =180-\varphi '}$ 

Pro ${\displaystyle \cos \varphi }$  platí

${\displaystyle \ \cos \varphi =-\cos \varphi '}$ 

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {I^{2}-I_{Z}^{2}-I_{R}^{2}}{2I_{R}I_{Z}}}}$ 

Jednotlivé složky impedance budou mít velikost:

${\displaystyle \ R_{x}=\mathbf {|} Z|\cos \varphi }$ 

${\displaystyle \ X_{x}=\mathbf {|} Z|\sin \varphi }$ 

Pro činný výkon na zátěži platí:

${\displaystyle P=U_{Z}I_{Z}\cos \varphi =R_{N}I_{R}I_{Z}{\frac {I^{2}-I_{Z}^{2}-I_{R}^{2}}{2I_{R}I_{Z}}}={\frac {R_{N}}{2}}(I^{2}-I_{R}^{2}-I_{Z}^{2})}$ 

Měřená impedance ${\displaystyle Z_{x}}$  je zapojena v sérii s odporovým normálem ${\displaystyle R_{N}}$ . Pomocí tří voltmetrů měříme efektivní hodnoty úbytků napětí na normálu, na měřené impedanci a napětí celkové.

Podle fázorového diagramu platí pro úhel ${\displaystyle \varphi '}$  kosinová věta

${\displaystyle U^{2}=U_{Z}^{2}+U_{R}^{2}-2U_{R}U_{Z}\cos \varphi '}$ 

Pro ${\displaystyle \cos \varphi '}$  platí

${\displaystyle \cos \varphi '=-{\frac {U^{2}-U_{Z}^{2}-U_{R}^{2}}{2U_{R}U_{Z}}}}$ 

Pro úhel ${\displaystyle \varphi }$  platí

${\displaystyle \ \varphi =180-\varphi '}$ 

Pro ${\displaystyle \cos \varphi }$  platí

${\displaystyle \ \cos \varphi =-\cos \varphi '}$ 

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {U^{2}-U_{Z}^{2}-U_{R}^{2}}{2U_{R}U_{Z}}}}$ 

Jednotlivé složky impedance budou mít velikost:

${\displaystyle \ R_{x}=\mathbf {|} Z|\cos \varphi }$ 

${\displaystyle \ X_{x}=\mathbf {|} Z|\sin \varphi }$ 

Pro činný výkon na zátěži platí:

${\displaystyle P=U_{Z}I_{Z}\cos \varphi ={\frac {U_{Z}U_{R}}{R_{N}}}{\frac {U^{2}-U_{Z}^{2}-U_{R}^{2}}{2U_{R}U_{Z}}}={\frac {U^{2}-U_{R}^{2}-U_{Z}^{2}}{2R_{N}}}}$ 

Zda máme použít k měření impedance metodu tří ampérmetrů nebo voltmetrů rozhodne hodnota hraniční impedance. Pro určení její velikosti platí vztah:

${\displaystyle \mathbf {Z_{h}} \approx {\sqrt {R_{A}R_{V}}}}$ 

${\displaystyle R_{A}}$  - vnitřní odpor ampérmetrů

${\displaystyle R_{V}}$  - vnitřní odpor voltmetrů

Je-li ${\displaystyle |\mathbf {Z_{x}} |<|\mathbf {Z_{h}} |}$ , je pro měření vhodnější metoda tří voltmetrů, pro ${\displaystyle |\mathbf {Z_{x}} |>|\mathbf {Z_{h}} |}$  je pro měření vhodnější metoda tří ampérmetrů.

 

Jde o obdobu Wheatstoneova můstku pro měření odporů. Pokud je v některé z podmínek rovnováhy zastoupena frekvence, je můstek frekvenčně závislý a lze ho použít nejen k měření impedancí, ale také k měření frekvencí. Pro měření impedancí jsou výhodnější, frekvenčně nezávislé můstky. Střídavé můstky jsou napájeny z oscilátoru. Nulové indikátory (NI) indikují vyvážení můstku. K tomu se nejčastěji používá osciloskop. Abychom omezili vnější rušivé vlivy, musí být můstky pečlivě zemněny a stíněny.

${\displaystyle \mathbf {Z_{1}} \mathbf {Z_{4}} =\mathbf {Z_{2}} \mathbf {Z_{3}} }$ 

${\displaystyle \mathbf {Z} =R\pm \mathrm {j} X}$ 

Dosadíme-li za jednotlivé hodnoty impedancí hodnoty v exponenciálním tvaru, bude platit:

${\displaystyle \mathbf {Z_{1}} e^{\mathrm {j} \varphi _{1}}\mathbf {Z_{4}} e^{\mathrm {j} \varphi _{4}}=\mathbf {Z_{2}} e^{\mathrm {j} \varphi _{2}}\mathbf {Z_{3}} e^{\mathrm {j} \varphi _{3}}}$ 

${\displaystyle \mathbf {Z_{1}} \mathbf {Z_{4}} e^{\mathrm {j} (\varphi _{1}+\varphi _{4})}=\mathbf {Z_{2}} \mathbf {Z_{3}} e^{\mathrm {j} (\varphi _{2}+\varphi _{3})}}$ 

Když tuto rovnici rozdělíme na dvě skalární, dostaneme dvě podmínky rovnováhy.

${\displaystyle |\mathbf {Z_{1}} ||\mathbf {Z_{4}} |=|\mathbf {Z_{2}} ||\mathbf {Z_{3}} |}$ 

${\displaystyle \ \varphi _{1}+\varphi _{4}=\varphi _{2}+\varphi _{3}}$ 

Číslicové měřiče impedancí mohou pracovat na různých principech, často se využívá převodník impedance-napětí nebo převodník admitance-napětí s využitím operačních zesilovačů.

S impedancí se lze také setkat při posuzování bezpečnosti elektrických instalací NN (například při revizích). Podmínky pro impedanci sítě TN (běžný druh sítě, nejčastěji používaný, např. i v bytových instalacích), stanoví ČSN 33 2000-4-41 ed.2 v článku 411.4.4. (dříve stará, dnes již neplatná ČSN 33 2000-4-41 v článku 413.1.3.3). Velikost impedance sítě TN určuje bezpečnost instalace tím, že je směrodatná pro rychlost vypnutí předřazeného jisticího přístroje (pojistka, jistič apod.). Aby jistící přístroj vypnul při poruše v dostatečně krátkém čase, musí být impedance dostatečně nízká. Podrobněji viz výše uvedená ČSN.

• SEDLÁK, Bedřich; ŠTOLL, Ivan. Elektřina a magnetismus. 2., opravené a rozšíření vyd. Praha: Academia, 2002. 632 s. ISBN 80-200-1004-1. 

• BLAHOVEC, Antonín. Elektrotechnika II. 4., nezměněné vyd. Praha: Informatorium, 2003. 156 s. ISBN 80-7333-013-X. 

• DOLEČEK, Jaroslav. Moderní učebnice elektroniky. Praha: nakladatelství BEN - technická literatura, 2005. 344 s. ISBN 80-7300-146-2. 

• Elektrotechnická měření. 1. vyd. Praha: nakladatelství BEN - technická literatura, 2002. 256 s. ISBN 80-7300-022-9. 

• Admitance
• Reaktance
• Rezistance

•   Obrázky, zvuky či videa k tématu impedance na Wikimedia Commons
• Sériový RLC obvod (slovensky)
• Měření impedance (česky)
• Popis impedance (anglicky)
• Užití impedance (anglicky)