Kružnice opsaná

Kružnice opsaná je kružnice, na níž leží všechny vrcholy rovinného útvaru.

Střed kružnice opsané trojúhelníku je průsečík os stran trojúhelníku, poloměr se rovná vzdálenosti středu od libovolného vrcholu. Každému trojúhelníku lze opsat kružnici.

• Velikost poloměru opsané kružnice určuje vztah

${\displaystyle 2r={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}.}$

• Spojnice středu kružnice opsané a jednotlivých vrcholů trojúhelníka jsou kolmé k jednotlivým stranám jeho ortického trojúhelníka (tzv. Nagelova věta).
• Kružnice devíti bodů je stejnolehlým obrazem kružnice opsané se středem stejnolehlosti v těžišti trojúhelníka a koeficientem κ = - 0,5, její poloměr je tedy poloviční.
• Středem úsečky spojující střed kružnice opsané a Lemoinův bod je zároveň středem první Lemoinovy kružnice.

Pokud z libovolného bodu X kružnice opsané spustíme kolmice k jednotlivým stranám, paty kolmic leží na přímce. Nazývá se Simsonova přímka. Pokud tento bod X spojíme s ortocentrem (průsečík výšek trojúhelníka), pak Simsonova přímka prochází středem této úsečky. Simsonova přímka se jmenuje podle anglického matematika Roberta Simsona (1687-1768). Někdy se označuje také jako Wallaceova přímka.

Kružnice opsaná a Simsonova přímka:

• ABC
• a, b, c – strany
• o_a, o_b, o_c - osy stran,
• O – průsečík os stran (střed kružnice opsané),
• X – libovolný bod, ležící na kružnici opsané
• k_a, k_b, k_c – kolmice na strany, spuštěné z bodu X
• S_a, S_b, S_c – paty kolmic k_a, k_b, k_c
• s – Simsonova přímka
• v_a, v_b, v_c – výšky,
• V – průsečík výšek (ortocentrum)
• S – střed úsečky VX

Kružnice opsaná pravoúhlému trojúhelníku se nazývá Thaletova kružnice. Střed Thaletovy kružnice leží ve středu přepony trojúhelníku. Máme-li např. trojúhelník ABC, říkáme, že Thaletova kružnice je sestrojena nad průměrem AB.

Pro každou úsečku AB platí, že Thaletova kružnice sestrojená nad průměrem AB (s vyjmutím bodů A a B) je množinou vrcholů C všech pravoúhlých trojúhelníků ABC s přeponou AB.

Kartézské souřadnice středu opsané kružnice lze vypočíst podle vzorce

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{x}&={\frac {1}{D}}\left[(A_{x}^{2}+A_{y}^{2})(B_{y}-C_{y})+(B_{x}^{2}+B_{y}^{2})(C_{y}-A_{y})+(C_{x}^{2}+C_{y}^{2})(A_{y}-B_{y})\right]\\S_{y}&={\frac {1}{D}}\left[(A_{x}^{2}+A_{y}^{2})(C_{x}-B_{x})+(B_{x}^{2}+B_{y}^{2})(A_{x}-C_{x})+(C_{x}^{2}+C_{y}^{2})(B_{x}-A_{x})\right]\end{aligned}}}$

přičemž pomocná hodnota D se vypočte

${\displaystyle D=2\left[A_{x}(B_{y}-C_{y})+B_{x}(C_{y}-A_{y})+C_{x}(A_{y}-B_{y})\right].\,}$

Indexy x a y označují x a y souřadnice vrcholů trojúhelníka (A,B,C) a středu kružnice S.

Střed kružnice opsané čtverci nebo obdélníku je průsečík úhlopříček daného rovnoběžníku.

• Kružnice vepsaná
• Kružnice připsaná
• Lemoinova kružnice
• Sinová věta

• Obrázky, zvuky či videa k tématu kružnice opsaná na Wikimedia Commons

• ŠVRČEK, Jaroslav; VANŽURA, Jiří. Geometrie trojúhelníka. Praha: Nakladatelství technické literatury, 1988. 

Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace. Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.