Trajectòria parabòlica

La velocitat orbital (${\displaystyle v}$ ) d'un cos que segueix una trajectòria parabòlica és:

${\displaystyle v={\sqrt {2\mu \over {r}}}}$ 

on:

• ${\displaystyle r\,}$  és la distància radial des del cos central,
• ${\displaystyle \mu \,}$  és el paràmetre gravitacional estàndard.

A qualsevol posició el cos orbitant té la velocitat d'escapament per aquella posició.

Si el cos orbitant té la velocitat d'escapament respecte a la Terra, no té la suficient per escapar del sistema solar, per tant, a prop de la Terra, l'òrbita s'assemblarà a una paràbola, més enllà resultarà ser una el·lipse al voltant del Sol.

Aquesta velocitat (${\displaystyle v}$ ) és directament proporcional a la velocitat orbital d'un cos en una òrbita circular de radi igual a la posició radial del cos orbitant en una òrbita parabòlica:

${\displaystyle v={\sqrt {2}}\cdot v_{o}}$ 

On:

• ${\displaystyle v_{o}\,}$  és la velocitat orbital d'un cos que segueix una òrbita circular.

L'equació del moviment d'un cos seguint una trajectòria parabòlica és:

${\displaystyle r={{h^{2}} \over {\mu }}{{1} \over {1+\cos \nu }}}$ 

On:

• ${\displaystyle r\,}$  és la distància radial des del cos central,
• ${\displaystyle h\,}$  és el moment angular relatiu específic del cos orbitant,
• ${\displaystyle \nu \,}$  és una anomalia veritable del cos orbitant,
• ${\displaystyle \mu \,}$  és el paràmetre gravitacional estàndard.

L'energia específica orbital d'un cos que segueix aquest tipus d'òrbita és zero, per tant l'equació de la conservació de l'energia orbital presenta aquesta forma:

${\displaystyle \epsilon ={v^{2} \over 2}-{\mu \over {r}}=0}$ 

On:

• ${\displaystyle v\,}$  és la velocitat orbital del cos orbitant,
• ${\displaystyle r\,}$  és la distància radial des del cos central,
• ${\displaystyle \mu \,}$  és el paràmetre gravitacional estàndard.

L'equació de Barker relaciona el temps de vol i l'anomalia vertadera d'una òrbita parabòlica.^[1]

${\displaystyle t-T={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {p^{3}}{\mu }}}\left(D+{\frac {1}{3}}D^{3}\right)}$ 

On:

• ${\displaystyle D=\tan {({\frac {\nu }{2}})}}$ , ${\displaystyle \nu }$  és l'anomalia veritable del cos orbitant
• ${\displaystyle t}$  és el temps
• ${\displaystyle T}$  és el temps en què el cos orbitant es troba en el periapsi.
• ${\displaystyle \mu \,}$  és el paràmetre gravitacional estàndard.
• ${\displaystyle p}$  és el semi-latus rectum de la trajectòria.

Més generalment, el temps entre qualsevol parell de punts d'una òrbita parabòlica és ${\displaystyle t_{f}-t_{0}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {p^{3}}{\mu }}}\left(D_{f}+{\frac {1}{3}}D_{f}^{3}-D_{0}-{\frac {1}{3}}D_{0}^{3}\right)}$ 

Aquesta equació també es pot expressar en termes de la distància al periapsi (${\displaystyle r_{p}={\frac {p}{2}}}$ ):

${\displaystyle t-T={\sqrt {\frac {2r_{p}^{3}}{\mu }}}\left(D+{\frac {1}{3}}D^{3}\right)}$ 

Al contrari que l'equació de Kepler, que s'utilitza per trobar les anomalies vertaderes en les òrbites el·líptiques i hiperbòliques, l'anomalia vertadera en l'equació de Barker es pot trobar directament a partir del temps. Si es fan les següents substitucions ^[2]

${\displaystyle A={\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {\mu }{2r_{p}^{3}}}}(t-T)}$ 

${\displaystyle B={\sqrt[{3}]{A+{\sqrt {A^{2}+1}}}}}$ 

llavors

${\displaystyle \nu =2\arctan(B-1/B)}$ 

Una trajectòria parabòlica radial és una trajectòria rectilínia on la velocitat relativa dels dos cossos és sempre la velocitat d'escapament. Hi ha dos casos: els dos cossos s'apropen o s'allunyen. L'expressió de la posició en funció de la velocitat és la següent:

${\displaystyle r=(4.5\mu t^{2})^{1/3}\!\,}$ 

on:

• ${\displaystyle \mu \,}$  és el paràmetre gravitacional estàndard.
• ${\displaystyle t=0\!\,}$  correspon al temps extrapolat del començament o acabament fictici en el centre del cos central.

En qualsevol instant la velocitat mitjana des de ${\displaystyle t=0\!\,}$  és 1.5 cops la velocitat actual.

Per tenir ${\displaystyle t=0\!\,}$  a la superfície es pot aplicar un canvi de temps.