Teorema del punt fix de Banach

Sigui (X, d) un espai mètric complet i f una aplicació de X en X. Es diu que és contractiva si existeix K<1 tal que ${\displaystyle d(f(x),f(y))\leq Kd(x,y)}$  per a qualssevol ${\displaystyle x,y\in X}$ . Un punt fix ${\displaystyle x_{0}\,}$  de f és un punt de X tal que ${\displaystyle f(x_{0})=x_{0}}$ . Llavors el teorema del punt fix de Banach diu:

A més a més, el teorema estableix que per a tot x de X la successió x , f (x) , f (f (x)) , ... convergeix cap a aquest punt fix.

La demostració ve donada pel fet que la successió així definida és una successió de Cauchy per ser la funció contractiva. Com X és complet, la successió convergeix a un ${\displaystyle x_{0}}$  de X Per ser la funció contractiva, és contínua i de la forma en què s'ha definit, es dedueix que ${\displaystyle x_{0}}$  és un punt fix de la funció i que és únic.

Es tracta d'una eina bàsica en la demostració de l'existència de solucions d'equacions diferencials (Vegeu el teorema de Picard-Lindelöf). Un altre dels usos d'aquest resultat radica en l'anàlisi de sistemes dinàmics, que té nombroses aplicacions, per exemple en l'estudi de models de població, models caòtics, etcètera. També és important en l'estudi de mètodes iteratius utilitzats en el càlcul numèric, per exemple en alguns problemes d'enginyeria. Fins i tot determinats fractals són punts fixos de certes contraccions.

• Cerdà Martín, Joan Lluís. Introducció a l'anàlisi funcional. Edicions Universitat de Barcelona, 2005, p. 154. ISBN 978-84-475-2934-6.