Tall de Dedekind

Un tall de Dedekind d'un conjunt totalment ordenat ${\displaystyle E}$  es defineix per una parella (A,B), on ${\displaystyle A\subset E}$  i ${\displaystyle B\subset E}$ , tals que:

1. ${\displaystyle A\neq \emptyset ,B\neq \emptyset }$ 
2. ${\displaystyle A\cap B=\emptyset }$ #${\displaystyle A\cup B=E}$ 
3. ${\displaystyle \forall x\in A,\forall y\in B,x<y}$ 

Els punts 1, 2 i 3 diuen que ${\displaystyle A}$  i ${\displaystyle B}$  constitueixen una partició de ${\displaystyle E}$ . Per tant, la definició d'un determina completament l'altre.

El punt 4 formula la partició dels elements de ${\displaystyle E}$  en aquestes dues parts. Es pot demostrar que aquest punt equival a:

• ${\displaystyle \forall x\in E,(a\in A\land x\leq a\Rightarrow x\in A)}$  i
• ${\displaystyle \forall y\in E,(b\in B\land y\geq b\Rightarrow y\in B)}$ .

Si ${\displaystyle E=\mathbb {Q} }$ , el conjunt dels nombres racionals, es pot considerar el tall següent:

${\displaystyle A=\{a\in \mathbb {Q} |a^{2}<2\lor a\leq 0\}}$ 

${\displaystyle B=\{b\in \mathbb {Q} |b^{2}\geq 2\land b>0\}}$ 

Aquest tall permet representar el nombre irracional ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$  que aquí es defineix alhora pel conjunt nombres racionals que són més petits i pel dels nombres racionals que són més grans.

La presa en consideració de tots els talls de Dedekind sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  permet una construcció del conjunt dels nombres reals ${\displaystyle \mathbb {R} }$  (vegeu l'article Construcció dels nombres reals).

Siguin ${\displaystyle (A,B)}$  i ${\displaystyle (C,D)}$  dos talls de Dedekind de ${\displaystyle E}$ . Es defineix un ordre sobre el conjunt dels talls de Dedekind de ${\displaystyle E}$  posant:

${\displaystyle (A,B)<(C,D)\Leftrightarrow A\subset C}$ .

Es pot demostrar que el conjunt dels talls de Dedekind de ${\displaystyle E}$  proveït d'aquest ordre posseeix la propietat de la fita superior, fins i tot si ${\displaystyle E}$  no la posseeix. Submergint ${\displaystyle E}$  en aquest conjunt, se'l perllonga en un conjunt del que tota subclasse afitada posseeix un suprem.

• Nombre real
• Construcció dels nombres reals
• Successió de Cauchy