Successió (matemàtiques)

En matemàtiques, una successió o seqüència és una llista ordenada d'objectes.^[1] Més formalment, s'anomena successió una aplicació definida en el conjunt dels nombres naturals, o un subconjunt seu, i que pren valors en un conjunt arbitrari. Si aquest altre conjunt és el dels nombres reals es diu que és una successió de nombres reals; si és un conjunt de funcions, es diu successió de funcions, etc.^[2][3][4]

Per exemple, una successió de nombres reals és una aplicació

${\displaystyle {\begin{matrix}a:&\mathbb {N} &\to &\mathbb {R} \end{matrix}}}$

A diferència de la notació habitual per a representar els valors d'una aplicació, on la variable s'acostuma a escriure entre parèntesis, ${\displaystyle a(n)}$, la variable d'una successió s'acostuma a representar com a subíndex: ${\displaystyle a_{n}}$.^[5] Així doncs, els valors de la successió a són

${\displaystyle {\begin{matrix}&a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},...\end{matrix}}}$

L'element ${\displaystyle a_{n}}$ és el terme d'índex n de la successió a. També és habitual representar una successió ${\displaystyle a}$ amb la notació

${\displaystyle {\begin{matrix}&(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\end{matrix}}}$.

Pel que fa al conjunts d'índexs, de vegades és còmode que el primer terme de la successió tingui índex 1. En aquest cas, la successió seria ${\displaystyle {\begin{matrix}a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},...\end{matrix}}}$ i s'escriuria ${\displaystyle {\begin{matrix}(a_{n})_{n\geq 1}\end{matrix}}}$. Quan queda clar, pel context, quin és el conjunt d'índexs, simplement s'escriu ${\displaystyle {\begin{matrix}(a_{n}).\end{matrix}}}$

Es pot definir una successió tant explícitament com implícitament. Alguns exemples de successions definides explícitament serien

${\displaystyle a_{n}=n^{2},\ \ \ (a_{n})=(0,1,4,9,16...)}$

${\displaystyle a_{n}=1/n,\ \ n\geq 1,\ \ \ (a_{n})=(1,1/2,1/3,1/4,1/5...)}$

${\displaystyle a_{n}=(-1)^{n},\ \ \ (a_{n})=(1,-1,1,-1,1,-1\ldots )}$

${\displaystyle a_{n}=\cos(n\pi /2),\ \ \ (a_{n})=(1,0,-1,0,1,0,-1...)}$.

També moltes successions es defineixen de manera implícita usant una recurrència, per exemple:^[6]

Progressió geomètrica de raó ${\displaystyle r}$: ${\displaystyle a_{n+1}=ra_{n},\ \ a_{0}}$ donat.

Successió de Fibonacci: ${\displaystyle a_{n+1}=a_{n}+a_{n-1}}$, ${\displaystyle a_{0}=0,\ a_{1}=1}$, ${\displaystyle \ \ (a_{n})=(0,1,1,2,3,5,8,13\ldots )}$.

La successió de la conjectura de Collatz: ${\displaystyle a_{n+1}={\begin{cases}n/2&{\text{si }}n{\text{ parell}}\\3n+1&{\text{si }}n{\text{ senar}}\end{cases}},\ \ a_{0}>0\ {\text{ enter donat}}.}$

La successió dels nombres primers: ${\displaystyle a_{0}=2}$, i ${\displaystyle a_{n+1}}$és el menor nombre enter més gran que ${\displaystyle a_{n}}$que no és divisible per cap dels ${\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}}$.

S'anomena subsuccessió o successió parcial d'una successió donada ${\displaystyle (a_{n})}$ a una altra que s'obté de la primera eliminant alguns dels seus termes. Per exemple, la successió ${\displaystyle (-1)^{n}}$és una subsuccessió de la successió ${\displaystyle \cos(n\pi /2)}$, ambdues considerades més amunt.

Les successions tenen una gran importància en anàlisi matemàtica i en topologia, amb els conceptes de límit, de successió convergent i de successió de Cauchy, així com el de sèrie convergent.