Involució

Una involució és una aplicació ${\displaystyle f:A\rightarrow A}$ tal que és igual a la seva pròpia inversa, i per tant dues aplicacions successives de la funció equivalen a la funció identitat: ${\displaystyle (f\circ f)(x)=f(f(x))=f^{2}(x)=Id(x)=x}$, on ${\displaystyle x\in A}$.

El concepte és extensible a lleis de composició binàries. Sigui ${\displaystyle (C,*)}$ un grupoide o magma unitari, amb l'element neutre denotat per e. Direm que un element ${\displaystyle x:C}$ és involutiu si ${\displaystyle x*x=e}$. La llei de composició interna ${\displaystyle *:C\times C\rightarrow C}$ és involutiva per l'esquerra si té un únic element neutre per l'esquerra i tots els elements de C són involutius: ${\displaystyle \exists _{1}e:C\bullet \forall x:C\bullet (e*x=x)\land (x*x=e)}$. De forma similar definim una llei involutiva per la dreta: ${\displaystyle \exists _{1}e:C\bullet \forall x:C\bullet (x*e=x)\land (x*x=e)}$. Una operació és simplement involutiva si és involutiva per la dreta i per l'esquerra, és a dir, que el seu element neutre és una unitat bilateral.

De forma equivalent, podem dir que una llei és involutiva (per l'esquerra, per la dreta o bilateral), si i només si, és unitària (per l'esquerra, per la dreta o bilateral, respectivament) i devolutiva, i l'element neutre és igual a l'element devolutiu.