Coeficients de Clebsch-Gordan

Els operadors de moment angular són operadors autoadjunts j_x, j_y i j_z que compleixen les relacions de commutació ^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}&[\mathrm {j} _{k},\mathrm {j} _{l}]\equiv \mathrm {j} _{k}\mathrm {j} _{l}-\mathrm {j} _{l}\mathrm {j} _{k}=i\hbar \varepsilon _{klm}\mathrm {j} _{m}&k,l,m&\in \{\mathrm {x,y,z} \},\end{aligned}}}$ 

on ε_klm és el símbol de Levi-Civita. Junts, els tres operadors defineixen un operador vectorial, un operador tensor cartesià de primer rang,

${\displaystyle \mathbf {j} =(\mathrm {j_{x}} ,\mathrm {j_{y}} ,\mathrm {j_{z}} ).}$ 

També es coneix com a vector esfèric, ja que també és un operador de tensor esfèric. Només per al primer rang els operadors de tensor esfèric coincideixen amb els operadors de tensor cartesians.

En desenvolupar aquest concepte encara més, es pot definir un altre operador j² com el producte intern de j amb si mateix:

${\displaystyle \mathbf {j} ^{2}=\mathrm {j_{x}^{2}} +\mathrm {j_{y}^{2}} +\mathrm {j_{z}^{2}} .}$ 

Aquest és un exemple d'operador Casimir. És diagonal i el seu valor propi caracteritza la particular representació irreductible de l'àlgebra del moment angular. ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,\mathbb {R} )\cong {\mathfrak {su}}(2)}$ . Això s'interpreta físicament com el quadrat del moment angular total dels estats sobre els quals actua la representació.

També es poden definir operadors de pujada (j₊) i de baixada (j₋), els anomenats operadors d'escala,

${\displaystyle \mathrm {j_{\pm }} =\mathrm {j_{x}} \pm i\mathrm {j_{y}} .}$ 

A partir de les definicions anteriors es pot demostrar que j² commuta amb j_x, j_y i j_z:

${\displaystyle {\begin{aligned}&[\mathbf {j} ^{2},\mathrm {j} _{k}]=0&k&\in \{\mathrm {x} ,\mathrm {y} ,\mathrm {z} \}.\end{aligned}}}$ 

Quan dos operadors hermitians es desplacen, existeix un conjunt comú d'estats propis. Convencionalment, s'escullen j² i j_z. A partir de les relacions de commutació, es poden trobar els possibles valors propis. Aquests estats propis es denoten |j m> on j és el nombre quàntic del moment angular i m és la projecció del moment angular sobre l'eix z.

Comprèn la base esfèrica, són completes i satisfan les següents equacions de valors propis:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {j} ^{2}|j\,m\rangle &=\hbar ^{2}j(j+1)|j\,m\rangle ,&j&\in \{0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\ldots \}\\\mathrm {j_{z}} |j\,m\rangle &=\hbar m|j\,m\rangle ,&m&\in \{-j,-j+1,\ldots ,j\}.\end{aligned}}}$ 

Els operadors de pujada i baixada es poden utilitzar per alterar el valor de m,

${\displaystyle \mathrm {j} _{\pm }|j\,m\rangle =\hbar C_{\pm }(j,m)|j\,(m\pm 1)\rangle ,}$ 

on el coeficient d'escala ve donat per:

Considerem ara sistemes amb dos moments angulars físicament diferents j₁ i j₂. Alguns exemples inclouen l'espín i el moment angular orbital d'un sol electró, o els espins de dos electrons, o el moment angular orbital de dos electrons. Matemàticament, això significa que els operadors de moment angular actuen sobre un espai ${\displaystyle V_{1}}$  de dimensió ${\displaystyle 2j_{1}+1}$  i també en un espai ${\displaystyle V_{2}}$  de dimensió ${\displaystyle 2j_{2}+1}$ . Aleshores definirem una família d'operadors de "moment angular total" que actuen sobre l'espai del producte tensor ${\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}}$ , que té dimensió ${\displaystyle (2j_{1}+1)(2j_{2}+1)}$ . L'acció de l'operador de moment angular total sobre aquest espai constitueix una representació de l'àlgebra de Lie SU(2), però reductible. La reducció d'aquesta representació reductible en peces irreductibles és l'objectiu de la teoria de Clebsch-Gordan.

Sigui V₁ l'espai vectorial dimensional (2 j₁ + 1) abastat pels estats

${\displaystyle {\begin{aligned}&|j_{1}\,m_{1}\rangle ,&m_{1}&\in \{-j_{1},-j_{1}+1,\ldots ,j_{1}\}\end{aligned}},}$ 

i V₂ l'espai vectorial dimensional (2 j₂ + 1) abastat pels estats

${\displaystyle {\begin{aligned}&|j_{2}\,m_{2}\rangle ,&m_{2}&\in \{-j_{2},-j_{2}+1,\ldots ,j_{2}\}\end{aligned}}.}$ 

El producte tensorial d'aquests espais, V₃ ≡ V₁ ⊗ V₂, té una base desacoblada (2 j₁ + 1) (2 j₂ + 1)-dimensional

${\displaystyle |j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv |j_{1}\,m_{1}\rangle \otimes |j_{2}\,m_{2}\rangle ,\quad m_{1}\in \{-j_{1},-j_{1}+1,\ldots ,j_{1}\},\quad m_{2}\in \{-j_{2},-j_{2}+1,\ldots ,j_{2}\}.}$ 

Els operadors de moment angular es defineixen per actuar sobre els estats de V₃ de la manera següent:

${\displaystyle (\mathbf {j} \otimes 1)|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv \mathbf {j} |j_{1}\,m_{1}\rangle \otimes |j_{2}\,m_{2}\rangle }$ 

i

${\displaystyle (1\otimes \mathrm {\mathbf {j} } )|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv |j_{1}\,m_{1}\rangle \otimes \mathbf {j} |j_{2}\,m_{2}\rangle ,}$ 

on 1 denota l'operador d'identitat.

Els operadors de moment angular totals^[a] es defineixen pel producte tensor de les dues representacions que actuen sobre V₁⊗V₂ ,

${\displaystyle \mathbf {J} \equiv \mathbf {j} _{1}\otimes 1+1\otimes \mathbf {j} _{2}~.}$