Complement a dos

El complement a dos és una operació matemàtica per a nombres binaris. S'utilitza en informàtica com a mètode per a la representació de nombres amb signe.

El complement a dos d'un nombre de N bits es defineix com el seu complement respecte de 2^N. La suma d'un nombre i el seu complement a dos és 2^N. Per exemple, per al nombre binari de tres bits 010₂ (2₁₀ en base 10), el seu complement a 2 és 110₂, perquè 010₂ + 110₂ = 1000₂ (2₁₀ + 6₁₀ = 8₁₀, que és 2³).

En aquest exemple, el número binari 010₂ codifica l'enter amb signe 2₁₀. El seu complement a dos, 110₂, codifica l'invers: -2₁₀. En altres paraules, per invertir el signe de la majoria d'enters (tots menys un), es pot utilitzar el complement a dos de la seva representació binària. La taula de la dreta il·lustra aquesta propietat.

El complement a dos es calcula invertint els dígits i afegint un 1: 010₂ → 101₂ + 1₂ = 110₂

Matemàticament, complement a dos d'un nombre natural N que, expressat en el sistema binari està compost per n dígits, es defineix com:

${\displaystyle C_{2}^{N}=2^{n}-N}$

Vegem un exemple: prenem el nombre ${\displaystyle N=2}$ que, quan s'expressa en binari és ${\displaystyle N=010_{2}}$, amb 3 dígits, i calculem el seu complement a dos:

${\displaystyle N=2}$, ${\displaystyle n=3}$; ${\displaystyle 2^{3}=8}$ i, per tant: ${\displaystyle C_{2}^{N}=8-2=110_{2}}$

Pot semblar complicat, però és molt fàcil obtenir el complement a dos d'un nombre a partir del seu complement a u, perquè el complement a dos d'un nombre binari és una unitat més gran que el seu complement a u, és a dir:

${\displaystyle C_{2}^{N}=C_{1}^{N}+1}$

Noteu que en aquest exemple, on s'ha limitat el nombre de bits a 3, no seria possible distingir entre el -2 i el 7 (el 7 en binari és 110₂). En realitat, un nombre en complement a dos s'expressa amb una quantitat arbitrària d'uns a l'esquerra, de la mateixa manera que un nombre binari positiu s'expressa amb una quantitat arbitrària de zeros. Així, el -45, expressat en complement a dos utilitzant 8 bits seria 11010011, mentre que el 19 seria 00010011; i expressat en 16 bits serien 1111111111010011 i 0000000000010011 respectivament.

La utilitat principal del complement a dos es troba en les operacions matemàtiques amb nombres binaris. En particular, la resta de nombres binaris es facilita molt utilitzant el complement a dos: la resta de dos nombres binaris es pot obtenir sumant al minuend el complement a dos del subtrahend.