Axiomes de probabilitat

En la teoria de la probabilitat, una mesura de probabilitat (o més breument probabilitat) ${\displaystyle \ \mathbb {P} }$ és una aplicació que a un esdeveniment A qualsevol li associa un nombre real (notat ${\displaystyle \ \mathbb {P} (A)}$). Una mesura de probabilitat ha de satisfer els axiomes de probabilitat o axiomes de Kolmogórov, nomenats així en honor d'Andreï Nikolaievitch Kolmogórov, matemàtic rus que els va desenvolupar.

Una mesura de probabilitat ${\displaystyle \ \mathbb {P} }$ sempre es defineix sobre un espai mesurable ${\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {A}}\right),}$ és a dir sobre una parella constituïda d'un conjunt d'esdeveniments, l'univers Ω, i d'una σ-àlgebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ de parts de l'univers Ω. Els elements de la σ-àlgebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ s'anomenen els esdeveniments. Així la mesura de probabilitat ${\displaystyle \ \mathbb {P} }$ és una aplicació de ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ en ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Per a tot esdeveniment ${\displaystyle \ A}$:

${\displaystyle 0\leq \mathbb {P} (A)\leq 1.}$

És a dir que la probabilitat d'un esdeveniment es representa amb un nombre real comprès entre 0 i 1.

Si ${\displaystyle \ \Omega }$ designa l'univers associat a l'experiment aleatori en estudi,

${\displaystyle \ \mathbb {P} (\Omega )=1}$,

És a dir que la probabilitat de l'esdeveniment cert, o d'obtenir qualsevol resultat de l'univers, és igual a 1. En altres paraules, la probabilitat de realitzar un o l'altre dels esdeveniments elementals és igual a 1.

Tota successió d'esdeveniments dos a dos disjunts (es diu també: dos a dos incompatibles), ${\displaystyle A_{1},\,A_{2},\dots }$ satisfà:

${\displaystyle \mathbb {P} (A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots )=\sum _{i=1}^{+\infty }\mathbb {P} (A_{i})}$.

És a dir que la probabilitat d'un esdeveniment que és la unió (numerable) disjunta d'esdeveniments és igual a la suma de les probabilitats d'aquests esdeveniments. Això s'anomena la σ;-additivitat, o additivitat numerable (si els esdeveniments no són dos a dos de disjunts, aquesta relació ja no és verdadera en general).

A partir dels axiomes, es demostren un cert nombre de propietats útils per al càlcul de les probabilitats, per exemple:

• ${\displaystyle \mathbb {P} (\emptyset )=0.}$

demostració

Fent servir el 3r axioma amb ${\displaystyle \scriptstyle \ A_{k}=\emptyset \ }$ per a tot ${\displaystyle \scriptstyle \ k.\ }$ s'obté ${\displaystyle \mathbb {P} (\emptyset )=\sum _{k\geq 1}\mathbb {P} (\emptyset ),}$ relació que no es pot satisfer si ${\displaystyle \scriptstyle \ \mathbb {P} (\emptyset )\in ]0,1],\ }$ ja que llavors el terme de dreta val ${\displaystyle \scriptstyle \ +\infty .\ }$ >Per tant no hi ha altra opció que ${\displaystyle \scriptstyle \ \mathbb {P} (\emptyset )=0,\ }$.

• Si ${\displaystyle \ A}$, ${\displaystyle \ B}$ són dos esdeveniments incompatibles (o disjunts), llavors

${\displaystyle \mathbb {P} (A\cup B)=\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B).}$

• De forma més general, si ${\displaystyle \ (A_{k})_{1\leq k\leq n}}$ és una família d'esdeveniments 2 a 2 incompatibles, llavors

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{1\leq k\leq n}A_{k}\right)=\sum _{1\leq k\leq n}\mathbb {P} (A_{k}).}$

Demostració

Fent servir el 3r axioma amb ${\displaystyle \scriptstyle \ A_{k}=\emptyset \ }$ per a tot ${\displaystyle \scriptstyle \ k\geq n+1.\ }$ s'obté una successió d'esdeveniments incompatibles 2 a 2 tals que ${\displaystyle \bigcup _{1\leq k\leq n}A_{k}=\bigcup _{k\geq 1}A_{k},}$

per tant

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{1\leq k\leq n}A_{k}\right)=\mathbb {P} \left(\bigcup _{k\geq 1}A_{k}\right),}$

però en virtut del tercer axioma

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{k\geq 1}A_{k}\right)=\sum _{k\geq 1}\mathbb {P} \left(A_{k}\right)}$ i finalment, ja que per a tot ${\displaystyle \scriptstyle \ k\geq n+1,\ }$ ${\displaystyle \mathbb {P} \left(A_{k}\right)=\mathbb {P} \left(\emptyset \right)=0,\ }$ s'obté el resultat desitjat.

• ${\displaystyle \mathbb {P} (B\setminus A)=\mathbb {P} (B)-\mathbb {P} (A\cap B)}$;

Aquesta relació significa que la probabilitat que B es realitzi, però no A, és igual a la diferència ${\displaystyle \mathbb {P} (B)-\mathbb {P} (A\cap B)}$. Aquesta relació es desprèn del fet que B és reunió disjunta de ${\displaystyle B\setminus A}$ i de ${\displaystyle A\cap B.}$

• En particular, si ${\displaystyle A\subset B}$, llavors

${\displaystyle \mathbb {P} (A)\leq \mathbb {P} (B)}$

És la propietat de creixement de la probabilitat. En efecte, en el cas particular on ${\displaystyle A\subset B}$, la propietat precedent s'escriu

${\displaystyle \mathbb {P} (B\setminus A)=\mathbb {P} (B)-\mathbb {P} (A),\ }$ on el primer terme és clarament positiu o zero.

• En el cas particular on ${\displaystyle B=\Omega ,}$ això dona que, per a tot esdeveniment ${\displaystyle \ A}$,

${\displaystyle \mathbb {P} (\Omega \setminus A)=1-\mathbb {P} (A)}$

Això significa que la probabilitat perquè un esdeveniment no es produeixi és igual a 1 menys la probabilitat que es realitzi; aquesta propietat es fa servir quan és més senzill determinar la probabilitat de l'esdeveniment contrari que la de l'esdeveniment mateix.

• Per a tots els esdeveniments ${\displaystyle \ A}$, ${\displaystyle \ B}$

${\displaystyle \mathbb {P} (A\cup B)=\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B)-\mathbb {P} (A\cap B).}$

Això significa que la probabilitat perquè un almenys dels esdeveniments ${\displaystyle A}$ o ${\displaystyle B}$ es realitzi és igual a la suma de les probabilitats que ${\displaystyle \ A}$ es realitzi, i perquè ${\displaystyle \ B}$ es realitzi, menys la probabilitat que ${\displaystyle \ A}$ i ${\displaystyle \ B}$ es realitzin de manera simultània. També,

${\displaystyle \mathbb {P} (A\cup B\cup C)=\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B)+\mathbb {P} (C)-\mathbb {P} (B\cap C)-\mathbb {P} (C\cap A)-\mathbb {P} (A\cap B)+\mathbb {P} (A\cap B\cap C).}$

• Aquestes dues últimes fórmules són casos particulars (n=2,3) del principi d'inclusió-exclusió

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\,\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\,\right)=\sum _{k=1}^{n}\left((-1)^{k-1}\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leq n}\mathbb {P} \left(A_{i_{1}}\cap A_{i_{2}}\cap \ldots \cap A_{i_{k}}\right)\right),}$

que dona la probabilitat de la unió de n conjunts no necessàriament disjunts.

• Tota successió creixent d'esdeveniments ${\displaystyle A_{1}\,\subset \,A_{2}\,\subset \,A_{3}\,\subset \,\dots }$ satisfà:

${\displaystyle \mathbb {P} (A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots )=\lim _{n}\mathbb {P} (A_{n}).}$

És a dir que la probabilitat d'un esdeveniment que és la unió (numerable) d'esdeveniments creixents és igual al límit de les probabilitats d'aquests esdeveniments.

Demostració

Es posa ${\displaystyle B_{1}=A_{1}\quad {\text{et}}\quad \forall n\geq 2,\ B_{n}=A_{n}\backslash A_{n-1}.}$

Llavors els ${\displaystyle B_{i}}$ són disjunts i verifiquen

${\displaystyle \bigcup _{n\geq 1}B_{n}=\bigcup _{n\geq 1}A_{n}\quad {\text{et}}\quad \forall n\geq 1,\ \bigcup _{k=1}^{n}B_{k}=A_{n}.}$

Les propietats de σ-additivitat i d'additivitat, respectivament, comporten llavors que

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}\mathbb {P} (B_{n})=\mathbb {P} \left(\bigcup _{n\geq 1}A_{n}\right)\quad {\text{et}}\quad \forall n\geq 1,\ \sum _{k=1}^{n}\mathbb {P} (B_{k})=\mathbb {P} (A_{n}).}$ Llavors ${\displaystyle \scriptstyle \ \mathbb {P} (A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots )=\lim _{n}\mathbb {P} (A_{n})}$ no és més que la definició de la suma d'una sèrie com a límit de les seves sumes parcials.

• Tota successió decreixent d'esdeveniments ${\displaystyle A_{1}\,\supset \,A_{2}\,\supset \,A_{3}\,\supset \,\dots }$ satisfà:

${\displaystyle \mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots )=\lim _{n}\mathbb {P} (A_{n}).}$

És a dir que la probabilitat d'un esdeveniment que és la intersecció (numerable) d'esdeveniments decreixents és igual al límit de les probabilitats d'aquests esdeveniments.

De manera equivalent, es defineix més simplement el triplet ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )}$ que representa un espai de probabilitat, com una espai mesurable la mesura del qual, ${\displaystyle \mathbb {P} }$, té la particularitat de tenir una massa total igual a 1:

${\displaystyle \mathbb {P} (\Omega )=1.}$

En teoria de la mesura, els esdeveniments s'anomenen «conjunts mesurables».

Aquest minilèxic permet traduir els resultats de la teoria de la mesura i de la integració de Lebesgue en termes probabilistes.