Carta (topologia)

Carta s'inclou en terminologia matemàtica en el sentit cartogràfic, l'objectiu és el d'unir una sèrie de cartes o "mapes" perquè ens permetin definir completament un atles o "col·lecció de mapes" de la totalitat d'un espai topològic que volem estudiar.

Per a una ampliació contextual de la definició vegeu varietats diferenciables.

Donat un espai topològic ${\displaystyle M_{}^{}}$, anomenarem carta de dimensió ${\displaystyle m_{}^{}}$ dins ${\displaystyle M_{}^{}}$ a un parell ${\displaystyle (O,\Phi _{}^{})}$ tal que l'aplicació ${\displaystyle \Phi :U={\stackrel {\circ }{O}}\subset M\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$ compleixi que ${\displaystyle \Phi _{}^{}(U)}$ sigui un obert i ${\displaystyle \Phi _{}^{}}$ sigui un homeomorfisme (bijectiva, contínua i inversa contínua).

Notes

• Direm que ${\displaystyle O_{}^{}}$ és un obert coordenat.
• Si ${\displaystyle p\in U}$, direm que ${\displaystyle O_{}^{}}$ és un entorn coordenat de ${\displaystyle p_{}^{}}$.

• Si ${\displaystyle \Phi (p)=0_{}^{}}$, direm que la carta està centrada en ${\displaystyle p_{}^{}}$.

1) Si ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}}$ podem veure que ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},\;id:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n})}$ és carta ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} :n>0}$.

2) Si ${\displaystyle M=\mathbb {R} }$ podem veure que ${\displaystyle ((a,b),\;i:(a,b)\hookrightarrow \mathbb {R} )}$ és carta ${\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {R} :a<b}$.

3) Si ${\displaystyle M=\mathbb {R} }$ podem veure que ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\;x\mapsto x^{3})}$ és carta, també ho és ${\displaystyle x^{2n+1}\forall n>1}$.

Demostració:

${\displaystyle \mathbb {R} }$ és espai topològic, ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\;\exists !x^{3},\exists !{\sqrt[{3}]{x}}}$, després és bijectiva i com és contínua tenim un homeomorfisme.

4) Si ${\displaystyle M=S^{1}\subset \mathbb {R} \cong \mathbb {C} }$ podem veure que ${\displaystyle (S^{1}\ \{i\},\;\Phi )}$ és carta per:

${\displaystyle {\begin{matrix}\Phi :&{S^{1}\ \{i\}}&\longrightarrow {}&{(-{\frac {3\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})}\\&z&\longmapsto &{\theta :=\det -\arg _{(-{\frac {3\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})}(z)}\end{matrix}}}$.

5) Si ${\displaystyle M=S^{1}\subset \mathbb {R} \cong \mathbb {C} }$ podem veure que ${\displaystyle (S^{1}\ \{i\},\;\psi )}$ és carta per:

La projecció estereogràfica ${\displaystyle {\begin{matrix}\psi :&{S^{1}\ \{i\}}&\longrightarrow {}&\mathbb {R} \\&z&\longmapsto &{x:={\frac {cos(arg(z))}{1-sin(arg(z))}}}\end{matrix}}}$.

6) Si ${\displaystyle M=S^{n}\subset \mathbb {R} ^{n+1}}$ podem veure que ${\displaystyle (S^{n}\ \{(0,\;\dots ,\;0,\;1)\},\;\Phi )}$ és carta per:

${\displaystyle {\begin{matrix}\Phi :&{S^{n}\ \{(0,\;\dots ,\;0,\;1)\}}&\longrightarrow {}&\mathbb {R} ^{n}\\&(x_{1},\;\dots ,\;x_{n+1})&\longmapsto &{\frac {(x_{1},\;\dots ,\;x_{n})}{1-x_{n+1}}}\end{matrix}}}$.

La mateixa que Varietat diferenciable.

Viccionari