Arhimed

 

Arhimed iz Sirakuze, navodno jedan od trojice najgenijalnijih matematičara svih vremena, bio je vrhunac helenske matematike i najveći fizičar starog vijeka. Rodio se 287. godine prije nove ere. Njegov otac bio je Fidija, astronom i matematičar, jedan od onih profesionalaca koji su bili bliži astrologiji nego matematici dok ga filozofija uopće nije zanimala. U vrijeme Arhimedovog rođenja Fidija je bio relativno siromašan građanin, kakvih je u Sirakuzi bilo mnogo. Međutim njegovo siromaštvo nije bilo dugog vijeka jer je uskoro njihov rođak Hijeron zavladao gradom. Fidija je svog sina naučio svemu što je sam znao.

Fidija se izgledao rukovodio načelom: sinu treba dati znanje u ruke i neka on s njim čini što mu volja. Arhimed je brzo usvojio očeva znanja koja su za njega bila tek početak naukovanja. Njegov duh tražio je još znanja i učenja, a to mu niko nije mogao pružiti u Sirakuzi. Stoga je otišao u Aleksandriju (današnji Egipat) gdje je moćni Ptolemej osnovao čuvenu Aleksandrijsku biblioteku. U to vrijeme Aleksandrija je bila središte prirodnih nauka, što je tada obuhvatalo astronomiju, matematiku, medicinu i filologiju. Arhimed u Aleksandriji nije postao ono što je mogao i što su najčešće postajali daroviti matematičari, pjesnici i medicinari - dvorski čovjek koji će kroz svoja djela veličati vladajuću kuću. Njega je prije svega i jedino zanimala matematika.

U Aleksandrijskoj biblioteci, gdje se njegovala filozofska svestranost i na najbezočniji način laskalo vladaru Ptolomeju i njegovoj supruzi Euergeti, radilo je mnogo mladih i sposobnih matematičara. Najsvestraniji je bio sjajni Eratosten, budući Arhimedov prijatelj. Nepisano pravilo je nalagao da svako otkriće prije objavljivanja mora biti poslano nekom drugom matematičaru na provjeru. Tako su vršnjaci Arhimed i Eratosten sve do Arhimedove smrti izmjenjivali brojna pisma u kojima su se nalazila gotovo sva otkrića i jednog i drugog. Vrativši se u Sirakuzu, Arhimed se u početku bavio astronomijom veoma ambiciozno, želeći odjednom sve. Sirakuza nije dugo mogla uživati svoju slobodu te se stoga Arhimed spremao za odbranu svog grada kako je znao i umio. Gradio je do tada neviđene mašine trošeći na tom poslu svoju veliku darovitost.

Koncentracija genija bila je tako velika kod Arhimeda da on u pojedinim trenucima ne vidi ništa drugo sem problema kojem se posveti. Stoga on zaboravlja na jelo i prilike u kojima je - crta po nauljenom tijelu, ili po pepelu vatre gradskog kupatila. Čini se danas sasvim nevažnom ona čuvena izreka: Heureka! Heureka! i trk iz gradskog kupatila kako bi se ideja primijenila dok je još vruća. Skoro za tadašnju cijelu Sirakuzu Arhimed je bio lud, a on će sve te ljude koji su ga okruživali odbraniti od Rimljana i tako im sačuvati živote. Iako je bio i vrstan polemičar, vičan sarkazmu bio je i samokritičan. Nije propuštao da ukaže na svoje pogreške i tako se izdizao iznad onih koji su ga oštro kritizirali.

Arhimed se bavio običnim, praktičnim problemima, koji su bili primjenjivani na mnogim mjestima, od polja do rudnika, za razliku od nekih njegovih kolega. Najveću slavu stekao je svojim raspravama o zarobljenim geometrijskim tijelima, čiju površinu i zapreminu je izračunavao složenom metodom bliskom današnjem infinitezimalnom računu. Također je pronašao zakone poluge, položio osnove hidrostatici i odredio približnu vrijednost broja pi (3,14). Pored toga izumio je tzv. Arhimedov vijak^[2] za podizanje velikih količina vode na veći nivo. Pronašao je i tzv. Arhimedov zakon, što mu je omogućilo da otkrije primjese neplemenitih metala u kruni kralja Hijerona.

Živjeći u isto vrijeme kada i veliki matematičar Apolonije iz Perge, poznat po svojim radovima iz područja konusnih presjeka, Arhimed se koristio svakom prilikom kako bi pecnuo svog savremenika kojeg nije trpio. Netrpeljivost je, uostalom, bila obostrana. Parodirajući naslov Arhimedovog spisa Mjerenja kruga i dostignuća u njemu, Apolonije je objavio djelo s naslovom Sredstvo za ubrzavanje porođaja. Arhimed mu nije ostao dužan nego je u jednom zadatku koji je uputio Eratostenu, napisanom savršenim epskim jezikom, apostrofirao Apolonija. Problem koji je postavio Arhimed - vezan uz broj bikova na ispaši, zaista je za ondašnje doba bio gotovo nerješiv jer upućuje na ogromne brojeve.

Arhimed piše:

Koliko u Sunca krava i bikova ima, izračunaj stranče,

Napregnuvši um, ako ti je zaista svojstvena mudrost.

Ako izračunaš koliko je tamo svega bilo stoke,

Koliko je na livadama paslo mesnatih bikova,

Koliko krava muzara i koliko od svake boje,

Niko te više neće nazvati neznalicom,

Ali i u mudrace te neće ubrojiti,

Ako uz to ne izračunaš i različite navike bikova:

Ako se pomješaju crni bikovi s bijelim stadom,

Oni će u polju zauzeti pravi kvadrat

Širine jednake dužini, i ova bezbrojna masa

Popuniće čitavo polje Trinakije.

Ako se pak pokupe zajedno svi mrki i šareni

(A ostali će zasebno pasti,

Ili je isto ako im dođu i svi ostali),

Tako da u prednjem redu stane jedan, a zatim

U svakom daljem redu sve više, imaće figura,

Koju svi oni popunjuju, tri strane:

Umiješ li sve to naći i duhovnim pogledom

Obuhvatiti veličinu stada i drugima prenijeti,

Gordo koračaj naprijed, kiteći se velikom pobjedom:

Znaj da si, prevazivši druge, po mudrosti prvi ti.

Naravno, problem je složen, i izražen u savremenim oznakama izgleda: t² - 4.729.494 u² = 1, a rješenje daje broj od 206.545 decimala, za čije bi zapisivanje bilo potrebno 60 stranica petita.

Arhimedova smrt, za vrijeme opsade Sirakuze, poznata je u okvirima koji su do nas stigli zahvaljujući Plutarhovom životopisu vojskovođe Marcela. Međutim izgleda da Plutarh stvari dotjeruje kada kaže da se Marcel ljutio i bio ogorčen na vojnika koji je ubio Arhimeda. Ali onu poznatu rečenicu koja se pripisuje Arhimedu: Ne diraj moje krugove (Noli turbare circulos meos) nije ostavio Plutarh nego historičar Valerije Maksim. On je napisao: "Smatrajući kako ove riječi vrijeđaju moć pobjednika vojnik mu je odsjekao glavu i Arhimedova krv poprskala je njegov naučni rad". Teško je povjerovati da se Arhimed mogao razumijeti s Rimljaninom jer je on govorio grčki, a vojnik latinski jezik. Pored toga Rimljani su zvjerski kažnjavali pobijeđene, a naročito je Marcel u tome bio svirep. On je čak naređivao da se pobiju žene i djeca kada bi neki grad "vjerolomno" narušio ugovor koji je imao s Rimom. Sirakužani nisu smjeli održavati grob svog velikog mislioca. Njega je jedva pronašao Ciceron i to zahvaljujući crtežu lopte i valjka koji se nalazio na spomeniku iznad nekoliko stihova urezanih velikom matematičaru u spomen. "Odmah sam rekao predstavnicima Sirakuze koji su me pratili da je pred nama bez sumnje Arhimedov nadgrobni spomenik. I zaista, čim su pozvali ljude da isjeku korov i da nam prokrče put i čim smo približili ovom stubu, vidjeli smo u njegovom podnožju natpis." Dio uklesanih stihova mogao se još pročitati, sve ostalo je satrlo vrijeme. I tako, jedan od najslavnijih gradova Grčke, koji je nekada dao svijetu toliko velikana, nije više znao čak ni gdje se nalazi grobnica najgenijalnijeg njegovog građanina, sve dok se nije pojavio čovjek iz malog grada Arpina, da bi im pokazao taj grob.

Arhimedovu slavu nosili su dalje Arapi, Ishak Ibn Hunan, prevodilac Arhimedovog remek-djela "O lopti i valjku", Sabit Ibn Kurah, prevodilac spisa "Mjerenje kruga", zatim al-Džalil as Sijzi, al-Kuhi, al-Mahani, al-Biruni, a naročito Omar Hajjam, pozati pjesnik Rubaija, te najveći arapski matematičar Muhamed Ben-Musa al-Horezmi.

Arhimedova spirala je transcendentna kriva koja nastaje kada tačka, polazeći iz ishodišta, jednolično obilazi ishodište i jednolično se udaljava od njega. Udaljenost neke tačke Arhimedove spirale od ishodišta razmjerna je pripadnom uglu zaokreta.

Konstrukcija

1. Nacrtatati kružnicu poluprečnika ${\displaystyle R=40}$  mm
2. Poluprečnik kružnice podijeliti na 8 jednakih dijelova i označiti tačke.
3. Kružnicu podijeliti na osam jednakih dijelova i označiti tačke.
4. Kroz tačke na poluprečniku nacrtati sedam kružnica ili kružnih lukova.
5. U sjecištima kružnica sa zrakama koje idu iz središta označiti tačke.
6. Kroz te tačke krivuljarom nacrtati spiralu

${\displaystyle (atcos(t-t_{0})-atsin(t-t_{0}))}$ 

${\displaystyle r=a+b\theta }$ 

Arhimedov vijak je crpka za vodu u obliku cijevi savijena poput vijka. Pri okretanju voda u toj cijevi se diže od njenog donjeg kraja prema gornjem i curi kroz otvor najvišeg zavoja.

Krznarski nož ima oblik figure koju određuju tri polukruga koji se dodiruju i čiji su centri kolinearni. Površina krznarskog noža jednaka je površini kruga čiji je prečnik CD uspravan na pravu određenu centrima polukrugova, a pruža se, od tačke C dodira manjih polukrugova do presjeka D sa najvećim polukrugom.

AB je prečnik velikog polukruga, AC i CB su prečnici manjih polukrugova. Površina P krznarskog noža dobija se tako što se od površine velikog polukruga oduzme zbir površina manjih polukrugova, tj.

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi ({\frac {AB}{2}})^{2}-[{\frac {1}{2}}\pi ({\frac {AC}{2}})^{2}+{\frac {1}{2}}\pi ({\frac {CB}{2}})^{2}]}$ 

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi {\frac {AB^{2}}{4}}-[{\frac {1}{2}}\pi {\frac {AC^{2}}{4}}+{\frac {1}{2}}\pi {\frac {CB^{2}}{4}}]}$ 

${\displaystyle {\frac {1}{8}}\pi {AB^{2}}-{\frac {1}{8}}\pi [{AB^{2}+CB^{2}}]}$ 

${\displaystyle AB=AC+CB}$ 

${\displaystyle AB^{2}=AC^{2}+2*AC*CB+CB^{2}}$ 

Ugao ADB je pravi ugao kao ugao nad prečnikom, pa je i trougao ADB pravougli sa pravim uglom kod vrha u D. Pravougli trouglovi DAC i BDC uz normalu su slični (II stav sličnosti trouglova)

${\displaystyle \angle {ACD}\cong \angle {BCD}}$  (uglovi sa normalnim kracima)

${\displaystyle {DA}\perp {BD}}$  i ${\displaystyle {DC}\perp {BC}}$ 

${\displaystyle {\frac {AC}{CD}}={\frac {CD}{CB}}}$ 

pa je

${\displaystyle P={\frac {1}{8}}\pi [AC^{2}+2*AC*CB+CB^{2}-AC^{2}-CB^{2}]={\frac {1}{8}}\pi *2*AC*CB=}$ 

${\displaystyle P={\frac {1}{4}}\pi *CD^{2}}$ 

a to je površina kruga prečnika CD

Za svaka dva realna broja ${\displaystyle a>0}$  i ${\displaystyle b>0}$  postoji ${\displaystyle n\in N}$  tako da je ${\displaystyle nb>a}$ 

 

• O kvadraturi parabole;
• O lopti i valjku;
• O mjerenju kruga;
• O plivanju tijela;
• Račun s pješčanim zrncima;
• O ravnoteži ravnih figura.

• Arhimedov broj

 

Commons ima datoteke na temu: Arhimed

• http://www.bbc.co.uk/history/historic_figures/archimedes.shtml
• Konstrukcija Arhimedove spirale
• Arhimedova spirala
• Arhimed
• Archimedes of Syracuse
• ARHIMED