Resistencia de materiales

La teoría de sólidos deformables rique xeneralmente trabayar con tensiones y deformaciones. Estes magnitúes vienen daes por campos tensoriales definíos sobre dominios tridimensionales que satisfaen complicaes ecuaciones diferenciales.

Sicasí, pa ciertes xeometríes aproximao unidimensionales (vigues, pilastraes, celosías, arcos, etc.) o bidimensionales (plaques y llámines, membranes, etc.) l'estudiu puede simplificase y pueden analizase por aciu el cálculu d'esfuercios internos definíos sobre una llinia o una superficie en llugar de tensiones definíes sobre un dominiu tridimensional. Amás les deformaciones pueden determinase colos esfuercios internos al traviés de cierta hipótesis cinemática. En resume, pa eses xeometríes toa l'estudiu puede amenorgase al estudiu de magnitúes alternatives a deformaciones y tensiones.

L'esquema teóricu d'un analís de resistencia de materiales entiende:

• La hipótesis cinemática establez cómo van ser les deformaciones o'l campu de desplazamientos pa un determináu tipu d'elementos so ciertu tipu de solicitúes. Para pieces prismátiques les hipótesis más comunes son la hipótesis de Bernouilli-Navier pa la flexón y la hipótesis de Saint-Venant pa la torsión.
• La ecuación constitutiva, qu'establez una rellación ente les deformaciones o desplazamientos deducibles de la hipótesis cinemática y les tensiones acomuñaes. Estes ecuaciones son casos particulares de les ecuaciones de Lamé-Hooke.
• Les ecuaciones d'equivalencia son ecuaciones en forma d'integral que rellacionen les tensiones colos esfuercios internos.
• Les ecuaciones d'equilibriu rellacionen los esfuercios internos coles fuercies esteriores.

Nes aplicaciones práutiques l'analís ye senciellu. Constrúyese un esquema ideal de cálculu formáu por elementos unidimensionales o bidimensionales, y aplíquense fórmules preestablecidas en base al tipu de solicitación que presenten los elementos. Eses fórmules preestablecidas que nun precisen ser deducíes pa cada casu, basar nel esquema de cuatro puntos anteriores. Más concretamente la resolución práuticu d'un problema de resistencia de materiales sigue los siguientes pasos:

1. Cálculu d'esfuercios, plantégense les ecuaciones d'equilibriu y ecuaciones de compatibilidá que seyan necesaries p'atopar los esfuercios internos en función de les fuercies aplicaes.
2. Analís resistente, calcúlense les tensiones a partir de los esfuercios internos. La rellación ente tensiones y deformaciones depende del tipu de solicitación y de la hipótesis cinemática asociada: flexón de Bernouilli, flexón de Timoshenko, flexón esviada, traición, pandeo, torsión de Coulomb, teoría de Collignon pa tensiones cortantes, etc.
3. Analís de rixidez, calcúlense los desplazamientos máximos a partir de les fuercies aplicaes o los esfuercios internos. Pa ello puede recurrise direutamente a la forma de la hipótesis cinemática o bien a la ecuación de la curva elástica, les fórmules vectoriales de Navier-Bresse o los teoremas de Castigliano.

La hipótesis cinemática ye una especificación matemática de los desplazamientos d'un sólidu deformable que dexa calcular les deformaciones en función d'un conxuntu de parámetro incógnita.

El conceutu úsase especialmente nel cálculu d'elementos lliniales (por casu, vigues) y elementos bidimensionales, onde gracies a la hipótesis cinemática pueden llograse rellaciones funcionales más simples. Con éses gracies a la hipótesis cinemática pueden rellacionase los desplazamientos en cualquier puntu del sólidu deformable d'un dominiu tridimensional colos desplazamientos especificaos sobre un conxuntu unidimensional o bidimensional.

La resistencia de materiales propón pa elementos lliniales o prismes mecánicos, como les vigues y pilastraes, nes que'l desplazamientu de cualquier puntu puede calculase a partir de desplazamientos y xiros especificaos sobre'l exa baricéntrico. Eso significa que por casu pa calcular una viga en llugar de espeficar los desplazamientos de cualquier puntu en función de trés coordenaes, podemos espresalos como función d'una sola coordenada sobre la exa baricéntrico, lo cual conduz a sistemes d'ecuaciones diferenciales relativamente simples. Esisten diversos tipos d'hipótesis cinemátiques según el tipu de solicitación de la viga o elementu unidimensional:

• La hipótesis de Navier-Bernouilli, que s'usa pa elementos lliniales allargaos sometíos a flexón cuando les deformaciones por cortante resulten pequeñes.
• La hipótesis de Timoshenko, que s'usa pa los elementos lliniales sometíos a flexón nun casu totalmente xeneral yá que nun se desprecia la deformación por cortante.
• La hipótesis de Saint-Venant pa la estensión, usada en pieces con esfuerciu normal pa zones de la viga alloñaes de la zona d'aplicación de les cargues.
• La hipótesis de Saint-Venant pa la torsión úsase para pieces prismátiques sometíes a torsión y en pieces con rixidez torsional grande.
• La hipótesis de Coulomb usar pa pieces prismátiques sometíes a torsión y en pieces con rixidez torsional grande y seición circular o tubular. Esta hipótesis constitúi una especialización del casu anterior.

Para plaques y llámines sometíes a flexón úsense dos hipótesis, que pueden ponese en correspondencia coles hipótesis de vigues:

• hipótesis de Love-Kirchhoff
• hipótesis de Reissner-Mindlin

Les ecuaciones constitutives de la resistencia de materiales son les que explicitan el comportamientu del material, xeneralmente tómense como ecuaciones constitutives les ecuaciones de Lamé-Hooke de la elasticidá llinial. Estes ecuaciones pueden ser especializaes pa elementos lliniales y superficiales. Pa elementos lliniales nel cálculu de les seiciones, les tensiones sobre cualquier puntu (y,z) de la seición puedan escribise en función de les deformaciones como:

${\displaystyle \sigma (y,z)=Y\ \varepsilon (y,z)}$ 

${\displaystyle {\begin{cases}\sigma _{xx}=\sigma &\varepsilon _{xx}=\varepsilon \\\sigma _{yy}=0&\varepsilon _{yy}=-\nu \varepsilon \\\sigma _{zz}=0&\varepsilon _{zz}=-\nu \varepsilon \end{cases}}}$ 

Sicasí, pa elementos superficiales sometíos predominantemente a flexón como les plaques la especialización de les ecuaciones de Hooke ye:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\end{bmatrix}}={\frac {Y}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\\varepsilon _{zz}\end{bmatrix}}}$ 

Amás d'ecuaciones constitutives elástiques, nel cálculu estructural delles normatives recueyen métodos de cálculu plásticu onde s'usen ecuaciones constitutives de plasticidad.

Les ecuaciones d'equivalencia espresen los esfuercios resultantes a partir de la distribución de tensiones. Gracies a esi cambéu ye posible escribir ecuaciones d'equilibriu que rellacionen direutamente les fuercies aplicaes colos esfuercios internos.

N'elementos lliniales rectos les coordenaes cartesianes pa representar la xeometría y espresar tensiones y esfuercios, escuéyense de normal cola exa X paralelu al exa baricéntrico de la pieza, y les exes Y y Z coincidiendo coles direiciones principales d'inercia. Nesi sistema de coordenaes la rellación ente esfuerciu normal (N_x), esfuercios cortantes (V_y, V_z), el momentu torsor (M_x) y los momentos flectores (M_y, M_z) ye:

${\displaystyle {\begin{matrix}N_{x}=\int _{\Sigma }\sigma _{x}dydz&V_{y}=\int _{\Sigma }\tau _{xy}dydz&V_{z}=\int _{\Sigma }\tau _{xz}dydz\\M_{x}=\int _{\Sigma }(-\tau _{xy}z+\tau _{xz}y)dydz&M_{y}=\int _{\Sigma }z\sigma _{xx}dydz&M_{z}=\int _{\Sigma }-y\sigma _{xx}dydz\end{matrix}}}$ 

 

Onde les tensiones qu'apaecen son les componentes del tensor tensión pa una pieza prismática:

${\displaystyle [T]_{xyz}={\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{xy}&0&0\\\tau _{xz}&0&0\end{bmatrix}}}$ 

Para elemento bidimensionales ye común tomar un sistema de dos coordenaes (cartesianu o curvilliniu) coincidentes cola superficie media, tando la tercera coordenada alliniada cola espesura. Pa una placa plana d'espesura 2t y con un sistema de coordenaes nel que'l planu XY coincide col so planu mediu. Los esfuercios componer de 4 esfuercios de membrana ${\displaystyle n_{uu},n_{uv},n_{vu},n_{vv}\,}$  (o esfuercios axiles por unidá d'área), 4 momentos flectores y 2 esfuercios cortantes. Los esfuercios de membrana usando un conxuntu de coordenaes ortogonales ${\displaystyle (o,v)\,}$  sobre una llámina de Reissner-Mindlin:

${\displaystyle {\begin{cases}n_{uu}=\int _{-t}^{+t}\left(1-{\frac {z}{R_{o}}}\right)\sigma _{uu}\ dz&n_{vu}=\int _{-t}^{+t}\left(1-{\frac {z}{R_{v}}}\right)\sigma _{uv}\ dz\\n_{uv}=\int _{-t}^{+t}\left(1-{\frac {z}{R_{o}}}\right)\sigma _{uv}\ dz&n_{vv}=\int _{-t}^{+t}\left(1-{\frac {z}{R_{v}}}\right)\sigma _{vv}\ dz\end{cases}}}$ 

Onde ${\displaystyle R_{o},R_{v}}$  son los radios de combadura en caúna de les direiciones coordenaes y z ye l'altor sobre la superficie media de la llámina. Los esfuercios cortantes y los momentos flectores por unidá d'área vienen daos por:

${\displaystyle {\begin{cases}v_{o}=\int _{-t}^{+t}\left(1-{\frac {z}{R_{o}}}\right)\sigma _{uz}\ dz&v_{v}=\int _{-t}^{+t}\left(1-{\frac {z}{R_{v}}}\right)\sigma _{vz}\ dz\\m_{uu}=\int _{-t}^{+t}\left(1-{\frac {z}{R_{o}}}\right)\sigma _{uu}z\ dz&m_{vu}=\int _{-t}^{+t}\left(1-{\frac {z}{R_{v}}}\right)\sigma _{uv}z\ dz\\m_{uv}=\int _{-t}^{+t}\left(1-{\frac {z}{R_{o}}}\right)\sigma _{uv}z\ dz&m_{vv}=\int _{-t}^{+t}\left(1-{\frac {z}{R_{v}}}\right)\sigma _{vv}z\ dz\end{cases}}}$ 

El tensor tensión d'una llámina xeneral pa la que valen les hipótesis de Reissner-Mindlin ye:

${\displaystyle [T]_{uvz}={\begin{bmatrix}\sigma _{uu}&\sigma _{uv}&\sigma _{uz}\\\sigma _{uv}&\sigma _{vv}&\sigma _{vz}\\\sigma _{uz}&\sigma _{vz}&0\end{bmatrix}}}$ 

Un casu particular de lo anterior constituyir les llámines planes que la so deformación afacer a la hipótesis de Love-Kirchhoff, carauterizada por que'l vector normal a la superficie media deformada coincide cola normal deformada. Esa hipótesis ye una bien bonu aproximamientu cuando los esfuercios cortantes son despreciables y nesi casu los momentos flectores por unidá d'área en función de les tensiones vienen daos por:

${\displaystyle {\begin{matrix}m_{x}=\int _{-t}^{t}z\sigma _{xx}dz&m_{y}=\int _{-t}^{t}z\sigma _{yy}dz&m_{yx}=m_{xy}=\int _{-t}^{t}z\sigma _{xy}dz\end{matrix}}}$ 

Onde les tensiones qu'apaecen son les componentes del tensor tensión pa una llámina de Love-Kirchhoff:

${\displaystyle [T]_{xyz}={\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&0\\\sigma _{xy}&\sigma _{yy}&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$ 

Les ecuaciones d'equilibriu de la resistencia de materiales rellacionen los esfuercios internos coles fuercies esteriores aplicaes. Les ecuaciones d'equilibriu pa elementos lliniales y elemento bidimensionales son la resultancia d'escribir les ecuaciones d'equilibriu elásticu en términos de los esfuercios en llugar de les tensiones.

Les ecuaciones d'equilibriu pal campu de tensiones xenerales de la teoría de la elasticidá llinial:

${\displaystyle {\frac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{xy}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{xz}}{\partial z}}=b_{x}}$ 

${\displaystyle {\frac {\partial \sigma _{yx}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{yy}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{yz}}{\partial z}}=b_{y}}$ .

${\displaystyle {\frac {\partial \sigma _{zx}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{zy}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{zz}}{\partial z}}=b_{z}}$ 

Si nelles trátase de substituir les tensiones polos esfuerciu internos, llégase entós a les ecuaciones d'equilibriu de la resistencia de materiales. El procedimientu, que se detalla de siguío, ye llixeramente distintu pa elementos unidimensionales y bidimensionales.

Nuna viga recta horizontal, alliniada cola exa X, y na que les cargues son verticales y asitiaes sobre'l planu XY, les ecuaciones d'equilibriu rellacionen el momentu flector (M_z), l'esfuerciu cortante (V_y) cola carga vertical (q_y) y tienen la forma:

${\displaystyle {\frac {dM_{z}}{dx}}=V_{y}\qquad \land \qquad {\frac {dV_{y}}{dx}}=-q_{y}\qquad \Rightarrow \qquad {\frac {d^{2}M_{z}}{dx^{2}}}=-q_{y}}$ 

Les ecuaciones d'equilibriu pa elementos bidimensionales (plaques) en flexón análogues a les ecuaciones de la seición anterior pa elementos lliniales (vigues) rellacionen los momentos por unidá d'anchu (m_x, m_y, m_xy), colos esfuercios cortantes por unidá d'anchu (v_x, m_y) y la carga superficial vertical (q_s):

${\displaystyle {\begin{matrix}{\cfrac {\partial m_{x}}{\partial x}}+{\cfrac {\partial m_{xy}}{\partial y}}=v_{x}\\{\cfrac {\partial m_{xy}}{\partial x}}+{\cfrac {\partial m_{y}}{\partial y}}=v_{y}\end{matrix}}\quad \land \quad {\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}=-q_{s}\qquad \Rightarrow \qquad {\frac {\partial ^{2}m_{x}}{\partial x^{2}}}+2{\frac {\partial ^{2}m_{xy}}{\partial y\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}m_{y}}{\partial y^{2}}}=-q_{s}}$ 

El diseñu mecánicu de pieces rique:

• Conocencia de les tensiones, pa verificar si éstes devasen les llendes resistentes del material.
• Conocencia de los desplazamientos, pa verificar si éstos devasen les llendes de rixidez que garanticen la funcionalidad del elementu diseñáu.

Polo xeneral, el cálculu de tensiones puede encetase con toa xeneralidá dende la teoría de la elasticidá, sicasí cuando la xeometría de los elementos ye abondo simple (como asocede nel casu d'elementos lliniales o bidimensionales) les tensiones y desplazamientos pueden ser calculaos de manera muncho más simple por aciu los métodos de la resistencia de materiales, que direutamente a partir del planteamientu xeneral del problema elásticu.

El cálculu de tensiones puede llograse a partir de la combinación de les fórmula de Navier pa la flexón, la fórmula de Collignon-Jourawski y les fórmules del cálculu de tensiones pa la torsión.

El cálculu de desplazamientos n'elementos lliniales puede llevase a cabu a partir métodos direutos como la ecuación de la curva elástica, los teoremas de Mohr o'l métodu matricial o a partir de métodos enerxéticos como los teoremas de Castigliano o inclusive por métodos computacionales.

La teoría de plaques de Love-Kirchhoff ye l'análogu bidimensional de la teoría de vigues de Euler-Bernouilli. Per otra parte, el cálculu de llámines ye l'análogu bidimensional del cálculu d'arcos.

L'análogu bidimensional pa una placa de la ecuación de la curva elástica ye la ecuación de Lagrange pa la deflexión del planu mediu de la placa. Pal cálculu de plaques tamién ye frecuente l'usu de métodos variacionales.

Otru problema importante en munches aplicaciones de la resistencia de materiales ye l'estudiu de la rixidez. Más concretamente ciertes aplicaciones riquen asegurar que so les fuercies actuantes dellos elementos resistentes nun superen nunca desplazamientos percima de ciertu valor prefijado. El cálculu de les deformaciones a partir de los esfuercios puede determinase por aciu dellos métodos semidirectos como l'usu del teorema de Castigliano, les fórmules vectoriales de Navier-Bresse, l'usu de la ecuación de la curva elástica, el métodu matricial de la rixidez y otros métodos numbéricos pa los casos más complexos.

• Conceutos de resistencia de materiales: rixidez, equilibriu mecánicu, flexón, torsión.
• Mecánica de sólidos deformables: tensión, deformación, elasticidá.
• Elementos resistentes lliniales: vigues, pilastraes, celosías, arcos.
• Elementos resistentes superficiales: plaques y llámines, membranes.
• Métodos de cálculu: cálculo d'esfuercios, teoremas de Castigliano, ecuaciones de Navier-Bresse, teoremas de Mohr, métodu matricial de la rixidez, teorema de los trés momentos
• Stephen Timoshenko, consideráu'l padre de la inxeniería mecánica moderna.

• Timoshenko S., Strength of Materials, 3rd ed., Krieger Publishing Company, 1976, ISBN 0-88275-420-3
• Dean Hartog, Jacob P., Strength of Materials, Dover Publications, Inc., 1961, ISBN 0-486-60755-0
• Popov, Egor P., Engineering Mechanics of Solids, Prentice Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1990, ISBN 0-13-279258-3
• Monleón Cremades, Salvador, Analís de vigues, arcos, plaques y llámines, Universidá Politéunica de Valencia, 1999, ISBN 84-7721-769-6

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