Distribución de Pareto

Si X pertenez al dominio de la variable de la distribución de pareto, entós la probabilidá de que X seya mayor qu'un númberu x vien dada por:

${\displaystyle Pr(X>x)={\begin{cases}\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }&{\text{si }}x\geq x_{\mathrm {m} },\\1&{\text{si }}x<x_{\mathrm {m} }.\end{cases}}}$ 

onde x_m ye'l valor mínimu posible (positivu) de X, y α ye un parámetru. La familia de les distribuciones de Pareto se parametrizan por dos cantidaes, x_m y α. Cuando esta distribución ye usada nun modelu sobre la distribución de riqueza, el parámetru α ye conocíu como índiz de Pareto.

A partir de la probabilidá acumulada, puede deducise por aciu una derivada que la función de densidá de probabilidá ye:

${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}\alpha \,{\dfrac {x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}&{\text{si }}x>x_{\mathrm {m} },\\[12pt]0&{\text{si }}x<x_{\mathrm {m} }.\end{cases}}}$ 

• La media o valor esperáu d'una variable aleatoria X, que sigue una distribución de Pareto con parámetru α > 1 ye :

${\displaystyle Y(X)={\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}\,}$ 

(si α ≤ 1, el valor esperáu nun esiste).

• La varianza ye :

${\displaystyle \mathrm {var} (X)=\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}\right)^{2}{\frac {\alpha }{\alpha -2}}.}$ 

(Si α ≤ 2, la varianza nun esiste).

• Los momentos son

${\displaystyle \mu _{n}'={\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }^{n}}{\alpha -n}},\,}$ 

pero'l n-ésimo momentu esiste namái pa n < α.

• La función xeneradora de momentos namái ta definida pa valores non positivos de t ≤ 0 según:

${\displaystyle M\left(t,\alpha ,x_{\mathrm {m} }\right)=Y(y^{tX})=\alpha (-x_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-x_{\mathrm {m} }t){\text{ and }}M\left(0,\alpha ,x_{\mathrm {m} }\right)=1.\,}$ 

La función de la delta de Dirac ye un casu llende de la densidá de Pareto:

${\displaystyle \lim _{\alpha \rightarrow \infty }f(x;\alpha ,x_{\mathrm {m} })=\delta (x-x_{\mathrm {m} }).\,}$ 

Puede definise una Distribución de Pareto Simétrica según:^[2]

${\displaystyle f(x;\alpha ,x_{\mathrm {m} })={\begin{cases}(\alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha }/2)|x|^{-\alpha -1}&{\text{si }}|x|>x_{\mathrm {m} }\\0&{\text{restu}}.\end{cases}}}$ 

Pareto Xeneralizáu
Parámetros	${\displaystyle \mu \in (-\infty ,\infty )\,}$  llocalización (real) ${\displaystyle \sigma \in (0,\infty )\,}$  escala (real) ${\displaystyle \xi \in (-\infty ,\infty )\,}$  forma (real)
Dominiu	${\displaystyle x\geqslant \mu \,\;(\xi \geqslant 0)}$  ${\displaystyle \mu \leqslant x\leqslant \mu -\sigma /\xi \,\;(\xi <0)}$
Función de densidá (pdf)	${\displaystyle {\frac {1}{\sigma }}(1+\xi z)^{-(1/\xi +1)}}$  where ${\displaystyle z={\frac {x-\mu }{\sigma }}}$
Función de distribución (cdf)	${\displaystyle 1-(1+\xi z)^{-1/\xi }\,}$
Media	${\displaystyle \mu +{\frac {\sigma }{1-\xi }}\,\;(\xi <1)}$
Varianza	${\displaystyle {\frac {\sigma ^{2}}{(1-\xi )^{2}(1-2\xi )}}\,\;(\xi <1/2)}$
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La familia de distribuciones xeneralizaes de Pareto (GPD) tienen tres parámetros ${\displaystyle \mu ,\sigma \,}$  y ${\displaystyle \xi \,}$ .

La función de probabilidá acumulada ye

${\displaystyle F_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x)={\begin{cases}1-\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\right)^{-1/\xi }&{\text{si }}\xi \neq 0,\\1-\exp \left(-{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)&{\text{si }}\xi =0.\end{cases}}}$ 

Pa ${\displaystyle x\geqslant \mu }$ , con ${\displaystyle \xi \geqslant 0\,}$ , y ${\displaystyle x\leqslant \mu -\sigma /\xi }$  con ${\displaystyle \xi <0\,}$ , onde ${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$  ye'l parámetru llocalización, ${\displaystyle \sigma >0\,}$  ye'l parámetru escala y ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }$  ye'l parámetru forma. Nótese que delles referencies tomen el parámetru forma como ${\displaystyle \kappa =-\xi \,}$ .

La función de densidá de probabilidá ye:

${\displaystyle f_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x)={\frac {1}{\sigma }}\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\right)^{\left(-{\frac {1}{\xi }}-1\right)}.}$ 

o

${\displaystyle f_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x)={\frac {\sigma ^{\frac {1}{\xi }}}{\left(\sigma +\xi (x-\mu )\right)^{{\frac {1}{\xi }}+1}}}.}$ 

de nuevu, pa ${\displaystyle x\geqslant \mu }$ , y ${\displaystyle x\leqslant \mu -\sigma /\xi }$  si ${\displaystyle \xi <0\,}$ 

 

• Na hidroloxía, utilízase la distribución de Pareto p'analizar variables aleatories como valores máximos de la precipitación y la descarga de ríos,^[4] y amás pa describir dómines de seca.^[5]

La imaxe azul ilustra un exemplu d'axuste de la distribución de Weibull a agües máximes diaries ordenaes, amosando tambien la franxa de 90% de [Intervalu d'enfotu|enfotu]], basada na distribución binomial.

Les observaciones presenten los marcadores de posición, como parte del analisis de frecuencia acumulada.

Puede usase software y un programa d'ordenador pal axuste d'una distribución de probabilidá, incluyendo la de Pareto, a una serie de datos:

• Easy fit Archiváu 2018-02-23 en Wayback Machine, "data analysis & simulation"
• MathWorks Benelux (enllaz rotu disponible n'Internet Archive; ver l'historial y la última versión).
• ModelRisk, "risk modelling software"
• Ricci distributions, fitting distrubutions with R, Vito Ricci, 2005
• Risksolver, automatically fit distributions and parameters to samples
• StatSoft distribution fitting
• CumFreq [2], llibre ensin costu, inclúi intervalo d'enfotu a base de la distribución binomial

• Barry C. Arnold (1983). Pareto Distributions, International Co-operative Publishing House, Burtonsville, Maryland. ISBN 0-899974-012-1.
• Christian Kleiber and Samuel Kotz (2003). Statistical Size Distributions in Economics and Actuarial Sciences, New York:Wiley. xi+332 pp. ISBN 0-471-15064-9.
• Lorenz, M. O. (1905). "Methods of measuring the concentration of wealth". Publications of the American Statistical Association. 9: 209–219.

• Calculadora - Distribución de Pareto