5040

帕雷托在法律篇指出5040是一个适合用来把东西除分的数字，可以用来划分土地。他指出此数字跟2520一样可由1至12（11除外）的之间所有自然数整除，他也发现此数字可由12整除两次。帕雷托多次主张5040是这个数字的用途有很多。^[1]

让-皮埃尔·卡汗（英语：Jean-Pierre Kahane）认为帕雷托透过5040带出高合成数的概念。^[2]

如果${\displaystyle \sigma (n)}$ 是除数函数及${\displaystyle \gamma }$ 是欧拉-马斯刻若尼常数，5040是最大已知符合此不等的数字（OEIS数列 A067698）：

${\displaystyle \sigma (n)\geq e^{\gamma }n\log \log n}$ .

因为在极限中有此公式：

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {\sigma (n)}{n\ \log \log n}}=e^{\gamma }.}$ 

所以这定理并不平常。

盖伊·罗宾（Guy Robin）在1984年指出当且仅当黎曼猜想为真，这个不等不适用于任何更大的数字。

• 包括1和5040，5040有60个约数。

• 合数，正约数有1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、12、14、15、16、18、20、21、24、28、30、35、36、40、42、45、48、56、60、63、70、72、80、84、90、105、112、120、126、140、144、168、180、210、240、252、280、315、336、360、420、504、560、630、720、840、1008、1260、1680、2520和5040。

  素因数分解为${\displaystyle 2^{4}\times 3^{2}\times 5\times 7}$ 。

• 过剩数，真约数和为14304，盈度为9264。
• 第19个高合成数。前一个为2520、下一个为7560。
• 7的阶乘。前一个为720、下一个为40320。
• 十进制的哈沙德数。
• 十进制的奢侈数。
• 5040既是高合成数，又是阶乘数的数，为最大符合此条件的数。
• 5040是42个连续的素数的总和（23 + 29 + 31 + 37 + 41 + 43 + 47 + 53 + 59 + 61 + 67 + 71 + 73 + 79 + 83 + 89 + 97 + 101 + 103 + 107 + 109 + 113 + 127 + 131 + 137 + 139 + 149 + 151 + 157 +163 + 167 + 173 + 179 + 181 + 191 + 193 + 197 + 199 + 211 + 223 + 227 + 229）。
• 5040是数秘术中一个重要的数，尤其是与圆形和球体有关的数。地球半径和月球半径的总和是3960 + 1080 = 5040。^[3]

• Mathworld 介绍帕雷托数字的文章（页面存档备份，存于互联网档案馆）