真空电容率

如同前面所述，真空電容率${\displaystyle \epsilon _{0}\,\!}$ 是一個度量系統常數。它的出現於電磁量的定義方程式，主要是因為一個稱為理想化的程序。只使用純理論的推導，馬克士威方程組奇異地預測出，電磁波以光速傳播於自由空間。繼續推論這個預測，就可以給出${\displaystyle \epsilon _{0}\,\!}$ 的數值。若想了解為什麼${\displaystyle \epsilon _{0}\,\!}$ 會有這數值，必須稍微閱讀一下電磁度量系統的發展史。

在以下的講述中，請注意到我們經典物理並不特別區分「真空」和「自由空間」這兩個術語。當今文獻裏，「真空」可能指為很多種不同的實驗狀況和理論實體。在閱讀文獻時，只有上下文可以決定術語的含意。

查爾斯·庫侖和其它物理學家的實驗，證明庫侖定律：分開距離為${\displaystyle r\,\!}$ ，電量都是${\displaystyle Q\,\!}$ 的兩個點電荷，其相互作用於對方的力${\displaystyle F\,\!}$ ，可以用方程式表達為

${\displaystyle F={\frac {k_{\mathrm {e} }Q^{2}}{r^{2}}}\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle k_{\mathrm {e} }\,\!}$ 是個常數。

假若，對其它變量不加以任何約束，則${\displaystyle k_{\mathrm {e} }\,\!}$ 可以任意地設定。對於每一個不同的${\displaystyle k_{\mathrm {e} }\,\!}$ 數值設定，${\displaystyle Q\,\!}$ 的詮釋也相隨地不同。為了要避免混淆不清，每一個不同的詮釋必須有不同的名稱和標記符號^[5]。

厘米-克-秒靜電制是一個十九世紀後期建立的標準系統。在這標準系統裏，常數${\displaystyle k_{\mathrm {e} }\,\!}$ 的數值被設定為1，電荷量的因次被稱為高斯電荷量。這樣，作用力的方程式變為

${\displaystyle F={\frac {{q_{s}}^{2}}{r^{2}}}\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle q_{s}\,\!}$ 是高斯電荷量。

假設兩個點電荷的電荷量都是一個單位高斯電荷量，分隔距離是1公分。則兩個點電荷相互作用於對方的力是1 達因。那麼，高斯電荷量的因次也可以寫為「達因^1/2公分」。這與國際單位制的因次，「牛頓^1/2公尺」，有同樣的因次。但是，高斯電荷量與國際單位制電荷量的因次並不相同。高斯電荷量不是用庫侖來測量的。

後來，科學家覺得，對於球幾何案例，應該加入因子${\displaystyle 4\pi \,\!}$ 於庫侖定律，表達方程式為

${\displaystyle F=\;k'_{\mathrm {e} }{q'_{s}}^{2}/4\pi r^{2}\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle k'_{\mathrm {e} }\,\!}$ 、${\displaystyle q'_{s}\,\!}$ 分別為新的常數和電荷量。

這個點子稱為理想化。設定${\displaystyle k'_{\mathrm {e} }=1\,\!}$ 。電量單位也改變了，但是，電量的因次仍舊是「達因^1/2公分」。

下一個步驟是將電量表達為一個獨自的基本物理量，標記為${\displaystyle q\,\!}$ ，將庫侖定律寫為它的現代形式：

${\displaystyle F=q^{2}/4\pi \epsilon _{0}r^{2}\,\!}$ 。

很明顯地，舊厘米-克-秒靜電制裏的電量${\displaystyle q_{s}\,\!}$ 與新的國際標準制電量${\displaystyle q\,\!}$ 的關係式為

${\displaystyle q_{s}=q/{\sqrt {4\pi \epsilon _{0}}}\,\!}$ 。

採用國際標準制，要求力的單位為牛頓，距離的單位為公尺，電荷量的單位為工程師的實用單位，庫侖，定義為1 安培的電流在1秒鐘內所累積的電荷量。那麼，真空電容率的因次應該是 「庫侖²牛頓^-1公尺^-2」（或者，「法拉¹公尺^-1」）。

真空電容率的數值可以從馬克士威方程組求得。觀察在真空中的馬克士威方程組的微分形式：

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =0\,\!}$ 、

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\,\!}$ 、

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0\,\!}$ 、

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\,\!}$  ;

其中，${\displaystyle \mathbf {E} \,\!}$ 是電場，${\displaystyle \mathbf {B} \,\!}$ 是磁感應強度。

取第四個馬克士威方程式的旋度，

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {B} )=\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial (\nabla \times \mathbf {E} )}{\partial t}}\,\!}$ 。

將第二個馬克士威方程式（法拉第方程式）代入，則可得到

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {B} )=-\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}\,\!}$ 。

應用一個向量恆等式，

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {B} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {B} )-\nabla ^{2}\mathbf {B} \,\!}$ 。

再注意到第三個馬克士威方程式（高斯磁定律），所以，

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {B} )=-\nabla ^{2}\mathbf {B} \,\!}$ 。

這樣，就可以得到光波的磁场波動方程式：

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {B} -\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}=0\,\!}$ 。

以同样的方式，也可得到光波的电场波动方程式：^{[註 1]}

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} -\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=0}$ 。

這光波傳播的速度（光速${\displaystyle c_{0}\,\!}$ ）是

${\displaystyle c_{0}=1/{\sqrt {\epsilon _{0}\mu _{0}}}\,\!}$ 。

這方程式表達出光速、真空電容率、真空磁導率，這三個物理量的相互關係。原則上，科學家可以選擇以庫侖，或是以安培為基本電磁單位^[6]。經過仔細的考量，國際單位組織決定以安培為基本電磁單位。因此，${\displaystyle \mu _{0}\,\!}$ 、${\displaystyle c_{0}\,\!}$ 的數值設定了${\displaystyle \epsilon _{0}\,\!}$ 的數值。若想知道如何決定${\displaystyle \mu _{0}\,\!}$ 的數值，請參閱條目真空磁導率。

自由空間（free space）是一個理想的參考狀態，可以趨近，但是在物理上是永遠無法達到的狀態。可實現真空有時候被稱為部分真空（partial vacuum），意指需要超低氣壓，但超低氣壓並不是近似自由空間的唯一條件^[7]。

與經典物理內的真空不同，現今時代的物理真空意指的是真空態（vacuum state），或量子真空。這種真空絶對不是簡單的空無一物的空間^[8][9]。因此，自由空間不再是物理真空的同義詞。若想要知道更多細節，請參閱條目自由空間和真空態。

對於為了測量國際單位的數值，而在實驗室製成的任何部分真空，一個很重要的問題是，部分真空是否可以被滿意地視為自由空間的實現？還有，我們必須怎樣修正實驗的結果，才能使這些結果適用於基線？例如，為了彌補氣壓高於零而造成的誤差，科學家可以做一些修正^[10]。

若想知道怎樣才能製成優良的部分真空，請參閱條目超高真空（ultra high vacuum）和自由空間。

請注意，這些缺陷並不會影響真空電容率${\displaystyle \epsilon _{0}\,\!}$ 的意義或數值。${\displaystyle \epsilon _{0}\,\!}$ 是個定義值，是由國際標準組織，通過光速和真空磁導率的定義值而衍生的。

• 偶極子
• 電極化強度
• 電偶極矩
• 磁化向量
• 卡西米爾效應