倒數伽瑪函數

根據萊昂哈德·歐拉以及卡尔·魏尔斯特拉斯給出的伽瑪函數無窮乘積定義，可以推得倒數伽瑪函數即伽瑪函數之倒數的無窮乘積：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\Gamma (z)}}&=z\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+{\frac {z}{n}}}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}}\\{\frac {1}{\Gamma (z)}}&=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}\end{aligned}}}$ 

其中${\displaystyle \gamma \approx 0.577216...}$ 是歐拉-馬斯刻若尼常數。這個乘積展開式對所有複數z都有效。

倒數伽瑪函數從零展開的泰勒級數為：

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=z+\gamma z^{2}+\left({\frac {\gamma ^{2}}{2}}-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\right)z^{3}+\cdots }$ 

其中γ是歐拉-馬斯刻若尼常數。對n > 2的情形，其zⁿ的系數a_n可由遞迴定義求出^[3]：

${\displaystyle a_{n}={\frac {a_{2}a_{n-1}-\sum _{j=2}^{n-1}(-1)^{j}\,\zeta (j)\,a_{n-j}}{n-1}}}$ 

其中ζ(s)代表黎曼ζ函數。2014年，Fekih-Ahmed發現這些係數可以用積分表示^[1]：

${\displaystyle a_{n}={\frac {(-1)^{n}}{\pi n!}}\int _{0}^{\infty }e^{-t}\Im [(\log(t)-i\pi )^{n}]dt.}$ 

其前幾項的值為：

而a_n的近似值為^[1]：

${\displaystyle a_{n}\approx (-1)^{n}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {\sqrt {n}}{n!}}\Im \left(e^{-nz_{0}}{\frac {z_{0}^{1/2-n}}{\sqrt {1+z_{0}}}}\right),}$ 

其中，${\displaystyle z_{0}={\frac {e^{W_{-1}(-n)}}{-n}}}$ 

而${\displaystyle W_{-1}}$ 是分支為負一的朗伯W函数。

當|z|在arg(z)為一固定值的情形下趨於無窮，則有：

${\displaystyle \ln(1/\Gamma (z))\sim -z\ln(z)+z+{\tfrac {1}{2}}\ln \left({\frac {z}{2\pi }}\right)-{\frac {1}{12z}}+{\frac {1}{360z^{3}}}-{\frac {1}{1260z^{5}}}\qquad \qquad {\text{for}}\quad |\arg(z)|<\pi }$ 

倒數伽瑪函數可使用圍線積分（英语：contour integration）（contour integration^[4]）表示，此表示法由赫爾曼·漢克爾所提出，其為：

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {i}{2\pi }}\oint _{H}(-t)^{-z}e^{-t}\,dt,}$ 

其中，H為漢克爾圍線（英语：Hankel contour）。

階乘倒數是指階乘的倒數。其等於所有小於及等於該數的正整數之倒數的積：

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}={\frac {1}{n!}}\quad \forall n\geq 1}$ 

其無窮級數收斂在e^[5]：

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=e}$ 

由於階乘可以用伽瑪函數來定義，因此階乘倒數也可以表示為：

${\displaystyle {\frac {1}{n!}}={\frac {1}{\Gamma (z+1)}}}$ .

對於${\displaystyle n\geq 1}$ 的正整數，其階乘倒數可以用一個積分表示^[6] ：

${\displaystyle {\frac {1}{n!}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }e^{-n\imath \vartheta }e^{e^{\imath \vartheta }}\ d\vartheta }$ .

同理，倒數伽瑪函數也可以用類似的方法表示。對所有的實數${\displaystyle c>0}$  且 ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ ，我們可以寫出倒數伽瑪函數沿著實軸的積分表示式^[7]：

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }(c+\imath t)^{-z}e^{c+\imath t}dt,}$ 

其中在${\displaystyle z:=n+1/2}$ 的特定情況下，則可獲得雙階乘的倒數與倒數伽瑪函數之關係：

${\displaystyle {\frac {1}{(2n-1)!!}}={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{n}\cdot \Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)}}}$ 

將倒數伽瑪函數在實軸上從零積到無窮的瑕積分為：

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\Gamma (x)}}\,dx\approx 2.80777024,}$ （OEIS數列A058655）

這個值又稱為弗朗桑－羅賓遜常數（英语：Fransén–Robinson_constant）。^[8]

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