阿贝尔群

群 ${\displaystyle (A,\circ )}$  對於所有的 ${\displaystyle a,\,b\in A}$ ，都滿足 ${\displaystyle a\circ b=b\circ a}$  （交換律）的話，稱 ${\displaystyle (A,\circ )}$  為阿貝爾群或交換群，反之被稱爲「非阿貝爾群」或「非交換群」。

群有兩種主要表示運算的符號—加法和乘法。

運算	表示法	單位元	冪	逆元
加法運算	${\displaystyle x+y}$	0	${\displaystyle nx}$	${\displaystyle -x}$
乘法運算	${\displaystyle x\cdot y}$  或 ${\displaystyle xy}$	1	${\displaystyle x^{n}}$	${\displaystyle x^{-1}}$

乘法符號是群的常用符號，而加法符號是模的常用符號。當同時考慮阿貝爾群和非阿貝爾群時，加法符號還可以用來強調阿貝爾群是特定群。

驗證有限群是阿貝爾群，可以構造類似乘法表的一種表格（或說矩陣），稱爲凱萊表。如果群 ${\displaystyle G=\{g_{1}=e,g_{2},\dots ,g_{n}\}}$  在運算 ${\displaystyle \cdot }$  下，則這個表的 ${\displaystyle (i,j)}$  元素即是 ${\displaystyle g_{i}\cdot g_{j}}$ 。群是阿貝爾群若且唯若這個表是關於主對角線是對稱的（或說這個矩陣是對稱矩陣）。這是因為對於阿貝爾群，${\displaystyle g_{i}\cdot g_{j}=g_{j}\cdot g_{i}}$ ，即表格中的 ${\displaystyle (i,j)}$  元素等於 ${\displaystyle (j,i)}$  元素。如下表所示：

	${\displaystyle e}$	${\displaystyle \cdots }$	${\displaystyle g_{j}}$	${\displaystyle \cdots }$
${\displaystyle e}$	${\displaystyle e}$
${\displaystyle \vdots }$
${\displaystyle g_{i}}$			${\displaystyle g_{i}\cdot g_{j}}$
${\displaystyle \vdots }$

• 整數集與加法運算構成阿貝爾群，記為${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$ 。兩個整數相加仍是整數，且加法有結合律。${\displaystyle 0}$  是加法單位元，所有整數 ${\displaystyle n}$  都有加法逆元 ${\displaystyle -n}$ 。加法運算有交換律，因為對於任意兩個整數${\displaystyle m,n}$  都有 ${\displaystyle m+n=n+m}$ 。
• 所有循環群 ${\displaystyle G=\langle g\rangle }$  都是阿貝爾群。如果 ${\displaystyle x,y\in G}$  ，則 ${\displaystyle xy=g^{m}g^{n}=g^{m+n}=g^{n}g^{m}=yx}$ 。因此整數集 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  形成了在加法下的阿貝爾群，整數模${\displaystyle n}$  ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ 也是。
• 所有環都是關于它的加法運算的阿貝爾群。在交換環中的可逆元形成了阿貝爾乘法群。特別是實數集是在加法下的阿貝爾群，非零實數集在乘法下是阿貝爾群。
• 所有阿貝爾群的子群都是正規子群，所以每個子群都引發商群。阿貝爾群的子群、商群和直和也是阿貝爾群。

矩陣即使是可逆矩陣，一般不形成在乘法下的阿貝爾群，因為矩陣乘法一般是不可交換的。但是某些矩陣的群是在矩陣乘法下的阿貝爾群 - 一個例子是${\displaystyle 2\times 2}$  旋轉矩陣的群。

阿貝爾群是Camille Jordan以挪威數學家尼尔斯·阿贝尔命名的，他首先察覺到了阿貝爾首先發表的這種群與根式可解性的聯繫的重要性。

如果 ${\displaystyle n}$  是自然數而 ${\displaystyle x}$  是阿貝爾群 ${\displaystyle (G,+)}$  的一個元素，則 ${\displaystyle nx}$  可以定義為 ${\displaystyle x+x+\cdots +x}$ （${\displaystyle n}$ 個數相加）并且 ${\displaystyle (-n)x=-(nx)}$ 。以這種方式，${\displaystyle G}$  變成在整數的環 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  上的模。事實上，在 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  上的模都可以被識別為阿貝爾群。

關於阿貝爾群（比如在主理想整環 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  上的模）的定理經常可以推廣到在任意主理想整環上的模。典型的例子是有限生成阿貝爾群的分類是在主理想整環上的有限生成模的結構定理的特殊情況。在有限生成阿貝爾群的情況下，這個定理保證阿貝爾群可以分解為撓群和自由阿貝爾群的直和。前者可以被寫為形如 ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{k}\mathbb {Z} }$  對于素數 ${\displaystyle p}$  的有限多個群的直和，而后者是有限多個 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  的復本的直和。

如果 ${\displaystyle f,g:G\to H}$  是在阿貝爾群之間的兩個群同態，則它們的和 ${\displaystyle f+g}$ ，定義為 ${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$ ，也是阿貝爾同態。（如果 ${\displaystyle H}$  是非阿貝爾群則這就不成立。）所有從 ${\displaystyle G}$  到 ${\displaystyle H}$  的群同態的集合 ${\displaystyle {\text{Hom}}(G,H)}$  因此是自身方式下的阿貝爾群。

某種程度上類似於向量空間的維度，所有阿貝爾群都有秩。它定義為群的線性無關元素的最大集合的勢。整數集和有理數集和所有的有理數集的子群都有秩1。

阿貝爾群的所有子群都是正規子群，但反之不成立——四元群 ${\displaystyle Q_{8}}$  就是一個例子——它不是一個交換群，但它的所有子群都是正規子群。所有子群都是正規子群的群叫做戴德金群。

整數模以 ${\displaystyle n}$  的循環群 ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$  是最常見的群的例子。已證實了任意有限阿貝爾群都同構於素數階的有限循環群的直和，并且這些階數是唯一確定的，形成了一個不變量（invariant）的完備系統。有限阿貝爾群的自同構群可以依據這些不變量來直接描述。有關理論最初發展自费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯和Ludwig Stickelberger（英语：Ludwig Stickelberger）在1879年的論文，后來被簡化和推廣到在主理想整環上的有限生成模，形成了線性代數的一個重要組成部分。

有限阿貝爾群的基本定理聲稱所有有限阿貝爾群 ${\displaystyle G}$  都可以表達為質數冪階的循環子群的直和。這是有限生成阿貝爾群的基本定理在 ${\displaystyle G}$  有零秩時的特殊情況。

${\displaystyle mn}$ 階的循環群${\displaystyle \mathbb {Z} _{mn}}$ 同構於${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}}$ 與${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ 的直和，當且僅當${\displaystyle m}$ 與${\displaystyle n}$ 是互素的。可推出任何有限阿貝爾群 ${\displaystyle G}$  同構於如下形式的直和

${\displaystyle \mathbb {Z} _{k_{1}}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} _{k_{u}}}$ 

以任何下列規范方式：

• 數 ${\displaystyle k_{1},k_{2},\dots ,k_{u}}$  是素數的冪
• ${\displaystyle k_{1}}$  整除 ${\displaystyle k_{2}}$ ，它又整除 ${\displaystyle k_{3}}$ ，如此直到 ${\displaystyle k_{u}}$ 。

例如，${\displaystyle \mathbb {Z} _{15}}$ 可以被表達為3階和5階的兩個循環群的直和：${\displaystyle \mathbb {Z} _{15}\cong \{0,5,10\}\oplus \{0,3,6,9,12\}}$ 。對于任何15階的阿貝爾群這也成立，導致了所有15階阿貝爾群都是同構的顯著結論。

另一個例子，所有8階段阿貝爾群都同構於要么 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{8}}$ (整數0到7在模8加法下)，${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}\oplus \mathbb {Z} _{2}}$ （奇數1到15在模16乘法下），要么 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}}$ 。

小於等于16階的有限阿貝爾群可參見小群列表。

可以應用基本定理去計數（有時確定）給定有限阿貝爾群 ${\displaystyle G}$  的自同構。要這么做，可利用如果 ${\displaystyle G}$  分解為互素階的子群的直和 ${\displaystyle H\oplus K}$ ，則 ${\displaystyle \operatorname {Aut} (H\oplus K)\cong \operatorname {Aut} (H)\oplus \operatorname {Aut} (K)}$  的事實。

基本定理證明了要計算${\displaystyle G}$ 的自同構群，分別計算西羅 ${\displaystyle p}$ -子群的自同構群就足夠了（也就是所有的循環子群的直和，每個都有 ${\displaystyle p}$  的冪的階）。固定一個素數 ${\displaystyle p}$  并假設西羅 ${\displaystyle p}$ -子群的循環因子的指數 ${\displaystyle e_{i}}$  是按遞增次序安排的：

${\displaystyle e_{1}\leq e_{2}\leq \cdots \leq e_{n}}$ 

對於某個 ${\displaystyle n>0}$ 。需要找到

${\displaystyle \mathbf {Z} _{p^{e_{1}}}\oplus \cdots \oplus \mathbf {Z} _{p^{e_{n}}}}$ 

的自同構。一個特殊情況是在 ${\displaystyle n=1}$  的時候，此時在西羅 ${\displaystyle p}$ -子群 ${\displaystyle P}$  中只有唯一一個循環素數冪因子。在這個情況下可以使用有限循環群的自同構的理論。另一個特殊情況是在 ${\displaystyle n}$  為任意的但 ${\displaystyle e_{i}=1}$  對於 ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$  的時候。這里考慮 ${\displaystyle P}$  為有著形式

${\displaystyle \mathbf {Z} _{p}\oplus \cdots \oplus \mathbf {Z} _{p}}$ 

所以這個子群的元素可以被看作構成了在 ${\displaystyle p}$  元素的有限域 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$  上的 ${\displaystyle n}$  維向量空間。這個子群的自同構因此給出為可逆線性變換，因此

${\displaystyle \mathrm {Aut} (P)\cong \mathrm {GL} (n,\mathbb {F} _{p})}$ 

它早先證明了有階

${\displaystyle \left|\operatorname {Aut} (P)\right|=(p^{n}-1)\cdots (p^{n}-p^{n-1})}$ 

在最一般情況下，這里的${\displaystyle e_{i}}$ 和${\displaystyle n}$ 是任意的，自同構群更難於確定。但是已經知道了如果定義

${\displaystyle d_{k}=\max\{r\mid e_{r}=e_{k}^{\,}\}}$ 

并且

${\displaystyle c_{k}=\min\{r\mid e_{r}=e_{k}\}}$ 

則有著特別的 ${\displaystyle k\leq d_{k}}$ ，${\displaystyle c_{k}\leq k}$ ，并且

${\displaystyle \left|\operatorname {Aut} (P)\right|=\prod _{k=1}^{n}(p^{d_{k}}-p^{k-1})\prod _{j=1}^{n}(p^{e_{j}})^{n-d_{j}}\prod _{i=1}^{n}(p^{e_{i}-1})^{n-c_{i}+1}.}$ 。

可以檢查這會生成作為特殊情況的前面例子的階（參見[Hillar, Rhea]）。

• 類域論
• 交換子群
• 初等阿貝爾群
• 有限生成阿貝爾群
• 自由阿貝爾群
• 龐特里亞金對偶性
• 秩1無撓阿貝爾群

• Fuchs, László（1970）Infinite abelian groups, Vol. I. Pure and Applied Mathematics, Vol. 36. New York-London: Academic Press. xi+290 pp. MR0255673
• ------（1973）Infinite abelian groups, Vol. II. Pure and Applied Mathematics. Vol. 36-II. New York-London: Academic Press. ix+363 pp. MR0349869
• Griffith, Phillip A. Infinite Abelian group theory. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press. 1970. ISBN 0-226-30870-7. 
• Hillar, Christopher and Rhea, Darren (2007), Automorphisms of finite abelian groups. Amer. Math. Monthly 114, no. 10, 917-923. [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
• Szmielew, Wanda (1955) "Elementary properties of abelian groups," Fundamenta Mathematica 41: 203-71.