循環單位

${\displaystyle R_{1}\,\!}$ 至${\displaystyle R_{b}\,\!}$ 的循環單位，${\displaystyle R_{n}\,\!}$ 的平方有一個很有趣的性質，它們都會得出由1到${\displaystyle n\,\!}$ 的數字順序組成的回文数。例如十进制中的：

        1×1        =        1
       11×11       =       121
      111×111      =      12321
     1111×1111     =     1234321
    11111×11111    =    123454321
   111111×111111   =   12345654321
  1111111×1111111  =  1234567654321
 11111111×11111111 = 123456787654321
111111111×111111111=12345678987654321

而上述原則於十進制，只在${\displaystyle n<10\,\!}$ 的情況下才能生效，因為在${\displaystyle n>9\,\!}$ 的情況下，${\displaystyle R_{n}\,\!}$ 的平方已經不能組成迴文數。例如：

      11111111111×1111111111      =      1234567900987654321
     111111111111×11111111111     =     123456790120987654321
    1111111111111×111111111111    =    12345679012320987654321
   11111111111111×1111111111111   =   1234567901234320987654321
  111111111111111×11111111111111  =  123456790123454320987654321
 1111111111111111×111111111111111 = 12345679012345654320987654321
11111111111111111×1111111111111111=1234567901234567654320987654321
...

雖然在${\displaystyle 9<n<19\,\!}$ 的情況下，${\displaystyle R_{n}\,\!}$ 的平方不能組成迴文數，卻有著固定的結構：

1. 如果${\displaystyle n=10\,\!}$ ，前綴：123456790，後綴：0987654321
2. 如果${\displaystyle n>10\,\!}$ ，前綴：123456790，中段：從1開始順序數數，直至得出${\displaystyle n\,\!}$ 與9的差，再倒數至2，後綴：0987654321

當${\displaystyle n}$ 能被大於1的${\displaystyle k}$ 整除時，${\displaystyle R_{k}|R_{n}}$ （例如${\displaystyle 111111111=111\times 1001001}$ ），因此若${\displaystyle R_{n}}$ 是質數，${\displaystyle n}$ 必須是質數。

現在已知${\displaystyle n=2,19,23,317,1031}$ 時，${\displaystyle R_{n}}$ 是質數，而${\displaystyle n=49081,86453,109297,270343,5794777,8177207}$ 的${\displaystyle R_{n}}$ 則可能是偽素數，${\displaystyle R_{8177207}}$ 是目前已知最大的可能質數（英语：probable prime）。

• 循環單位因數表