空积

在数学领域，空积（英語：Empty product）也叫零项积（英語：nullary product），是零个因子相乘的结果。一般假设任何乘法运算中都隐含单位元因子，所以认为空积的值与乘法单位元 1 相等。这和空和（零个数相加的结果）等于加法单位元 0 是类似的。^[1]^[2]^[3]^[4]

零项算术积

假设有数列 a₁, a₂, a₃,... 并且该数列的前 m 项的积为

P_{m}=\prod _{i=1}^{m}a_{i}=a_{1}\cdots a_{m}

如果约定 $P_{1}=a_{1}$ 并且 $P_{0}=1$ ，那么所有 m = 1,2,... 都满足：

P_{m}=a_{m}\cdot P_{m-1}

换句话说， $P_{1}$ 是一个因子的「积」，取值就是它本身；而 $P_{0}$ 则是零个因子的「积」，取值是 1。允许求一个因子、零个因子的积，可以简化很多数学公式，减少针对类似的特殊情况的处理。这样的「积」是很多归纳证明以及算法的自然起点。因此，「空积是一」的约定在数学和程序设计中非常常见。

另见

迭代二项运算（英语：Iterated binary operation）
空和

参考资料

^ Jaroslav Nešetřil, Jiří Matoušek. Invitation to Discrete Mathematics. Oxford University Press. 1998: 12. ISBN 0-19-850207-9.
^ A.E. Ingham and R C Vaughan. The Distribution of Prime Numbers. Cambridge University Press. 1990: 1. ISBN 0-521-39789-8.
^ Lang, Serge, Algebra, Graduate Texts in Mathematics 211 Revised third, New York: Springer-Verlag: 9, 2002, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
^ David M. Bloom. Linear Algebra and Geometry. 1979: 45. ISBN 0521293243.

[1] Jaroslav Nešetřil, Jiří Matoušek. Invitation to Discrete Mathematics. Oxford University Press. 1998: 12. ISBN 0-19-850207-9.

[2] A.E. Ingham and R C Vaughan. The Distribution of Prime Numbers. Cambridge University Press. 1990: 1. ISBN 0-521-39789-8.

[3] Lang, Serge, Algebra, Graduate Texts in Mathematics 211 Revised third, New York: Springer-Verlag: 9, 2002, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556

[4] David M. Bloom. Linear Algebra and Geometry. 1979: 45. ISBN 0521293243.

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