渐近分析

定义：给定关于自然数${\displaystyle n}$ 的复函数${\displaystyle f}$ 和${\displaystyle g}$ ，

命题${\displaystyle f(n)\sim g(n){\mbox{ }}(n\rightarrow \infty )}$ 表明（使用小o符号）

${\displaystyle f(n)=g(n)+o(g(n)){\mbox{ }}(n\rightarrow \infty )}$ 

或（等价记法）

${\displaystyle f(n)=(1+o(1))g(n){\mbox{ }}(n\rightarrow \infty )}$ 。

这说明，对所有正常数${\displaystyle \epsilon }$ ，存在常量${\displaystyle N}$ ，使得对于所有的${\displaystyle n\geqslant N}$ 有

${\displaystyle |f(n)-g(n)|\leqslant \epsilon |g(n)|}$ 。

当${\displaystyle g(n)}$ 不是0或者趋于无穷大时，该命题可等价记作

${\displaystyle \lim _{n{\rightarrow }\infty }{\frac {f(n)}{g(n)}}=1}$ 。

渐近等价是一个关于${\displaystyle n}$ 的函数的集合上的等价关系。非正式地，函数${\displaystyle f}$ 的等价类包含所有在极限情况下近似等于${\displaystyle f}$ 的函数${\displaystyle g}$ 。

函数${\displaystyle f(x)}$ 的渐近展开是它的一种级数展开。这种展开的部分和未必收敛，但每一个部分和都表示${\displaystyle f(x)}$ 的一个渐近表示式。例子：斯特灵公式。

• 漸近運算複雜度（英语：Asymptotic computational complexity）
• 漸近理論（英语：Asymptotic theory）

• J. P. Boyd, "The Devil's Invention: asymptotic, superasymptotic and hyperasymptotic series", Acta Applicandae Mathematicae, 56: 1-98 (1999). Preprint （页面存档备份，存于互联网档案馆）.