不等

不等具有下列性质：

三一律：

对任意实数${\displaystyle a}$ 、${\displaystyle b}$ ，只有下列之一是真的：

• ${\displaystyle a<b}$ 
• ${\displaystyle a=b}$ 
• ${\displaystyle a>b}$ 

調換性質：

對任意實數${\displaystyle a}$ 、${\displaystyle b}$ ：

• ${\displaystyle a<b}$  和 ${\displaystyle b>a}$  是等價的。
• ${\displaystyle a\leq b}$  和 ${\displaystyle b\geq a}$  是等價的。

传递性：

对任意实数${\displaystyle a}$ 、${\displaystyle b}$ 、${\displaystyle c}$ ：

• 如果 ${\displaystyle a<b}$  且 ${\displaystyle b<c}$ ，则 ${\displaystyle a<c}$ 。
• 如果 ${\displaystyle a\leq b}$  且 ${\displaystyle b\leq c}$ ，則 ${\displaystyle a\leq c}$ 。
• 如果 ${\displaystyle a<b}$  且 ${\displaystyle b\leq c}$ ，則 ${\displaystyle a<c}$ 。
• 如果 ${\displaystyle a\leq b}$  且 ${\displaystyle b<c}$ ，則 ${\displaystyle a<c}$ 。

加法性质：

对任意实数${\displaystyle a}$ 、${\displaystyle b}$ 、${\displaystyle c}$ ：

• 若 ${\displaystyle a>b}$ ；则 ${\displaystyle a+c>b+c}$  。
• 若 ${\displaystyle a<b}$ ；则 ${\displaystyle a+c<b+c}$ 。

乘法性质：

对任意实数${\displaystyle a}$ 、${\displaystyle b}$ 、${\displaystyle c}$ ，且有${\displaystyle c\neq 0}$ ：

• 若${\displaystyle c}$ 为 正数 且 ${\displaystyle a>b}$ ；则 ${\displaystyle ac>bc}$ 。
• 若${\displaystyle c}$ 为 正数 且 ${\displaystyle a<b}$ ；则 ${\displaystyle ac<bc}$  。
• 若${\displaystyle c}$ 为 负数 且 ${\displaystyle a>b}$ ；则 ${\displaystyle ac<bc}$  。
• 若${\displaystyle c}$ 为 负数 且 ${\displaystyle a<b}$ ；则 ${\displaystyle ac>bc}$ 。

注意：当遇上不等关系求解时，比如已知 ${\displaystyle A>B}$ ，${\displaystyle C>D}$ ，不可以认为 ${\displaystyle A-C>B-D}$ ，但根據此描述可知 ${\displaystyle A-D>B-C}$  是真的。

• ${\displaystyle a<b<c}$  代表「${\displaystyle a<b}$  且 ${\displaystyle b<c}$ 」。
• ${\displaystyle a\leq b\leq c}$  代表「${\displaystyle a\leq b}$  且 ${\displaystyle b\leq c}$ 」。
• ${\displaystyle a<b\leq c}$  代表「${\displaystyle a<b}$  且 ${\displaystyle b\leq c}$ 」。
• ${\displaystyle a\leq b<c}$  代表「${\displaystyle a\leq b}$  且 ${\displaystyle b<c}$ 」。

• 若${\displaystyle x>0}$  ；则

${\displaystyle x^{x}\geq \left({\frac {1}{e}}\right)^{\frac {1}{e}},}$ 

• 若${\displaystyle x>0}$ ；则

${\displaystyle x^{x^{x}}\geq x\,}$ 

• 若${\displaystyle x,y,z>0}$ ；则

${\displaystyle (x+y)^{z}+(x+z)^{y}+(y+z)^{x}>2\,}$ 

• 若${\displaystyle x,y,z>0}$ ；则

${\displaystyle x^{x}y^{y}z^{z}\geq (xyz)^{\frac {x+y+z}{3}},}$ 

• 若${\displaystyle a,b>0}$ ；则

${\displaystyle a^{a}+b^{b}\geq a^{b}+b^{a}\,}$ 

• 若${\displaystyle a,b>0}$ ；则

${\displaystyle a^{ea}+b^{eb}\geq a^{eb}+b^{ea}\,}$ 

• 若${\displaystyle a,b,c>0}$ ；则

${\displaystyle a^{2a}+b^{2b}+c^{2c}\geq a^{2b}+b^{2c}+c^{2a}\,}$ 

• 若${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}>0}$ ；则

${\displaystyle a_{1}^{a_{2}}+a_{2}^{a_{3}}+\cdots +a_{n}^{a_{1}}>1}$ 

• 對於實數 ${\displaystyle a}$ 、${\displaystyle b}$ 、${\displaystyle c}$ 、${\displaystyle d}$ ，若 ${\displaystyle a<b}$  且 ${\displaystyle c<d}$ ；則

  ${\displaystyle a+c<b+d}$

  例-1

  證明
  ${\displaystyle a<b}$  (10) [前提] ${\displaystyle c<d}$  (15) [前提] ${\displaystyle a-b<0}$  (20) 源自 (10) ${\displaystyle 0<d-c}$  (25) 源自 (15) (20) 及 (25) 經由遞移性質可以得到 ${\displaystyle a-b<d-c}$  (30) 源自 (20) (25) ${\displaystyle a-b+(b+c)<d-c+(b+c)}$  (35) 源自 (30) ${\displaystyle a+c<b+d}$  (40) 源自 (35) [結論]

• 對於實數 ${\displaystyle a}$ 、${\displaystyle b}$ 、${\displaystyle c}$ 、${\displaystyle d}$ ，若 ${\displaystyle a<b}$  且 ${\displaystyle c<d}$ ；則

${\displaystyle a-d<b-c}$

例-2

證明
${\displaystyle a<b}$  (45) [前提] ${\displaystyle c<d}$  (50) [前提] ${\displaystyle -c>-d}$  (55) 源自 (50) ${\displaystyle -d<-c}$  (60) 源自 (55) (45) 及 (60) 經由 (例-1) 可以得到 ${\displaystyle a+(-d)<b+(-c)}$  (65) 源自 (45) (60) ${\displaystyle a-d<b-c}$  (70) 源自 (65) [結論]

• 二元关系
• 偏序关系
• 不等號
• 不等式列表