卡倫數

卡倫數是形式如 $n\times 2^{n}+1$ （寫作 $C_{n}$ ）的自然數。

若質數 $p=8k-3=2n-1$ ， $C_{n}$ 能被 $p$ 整除。根據費馬小定理，若p是奇質數， $p$ 能整除 $C_{m(k)}$ 對於 $m(k)=(2^{k}-k)(p-1)-k$ (對於 $k>0$ )。

廣義卡倫數有時定義為 $n\times b^{n}+1$ 而且 $n+2>b$ 。胡道爾數有時稱為第二種卡倫數。

歷史和卡倫質數

1905年，詹姆士·卡倫首先研究它。

1958年Raphael M. Robinson核實 $C_{141}$ 是質數，且證明了若 $n\leq 1000$ ，除了 $C_{1}$ 和 $C_{141}$ 之外， $C_{n}$ 均為合成數。

1984年Wilfrid Cellar又類似地核實了 $C_{4713},C_{5795},C_{6611},C_{18496}$ 和以上提到的卡倫質數之外， $n\leq 30000$ 的 $C_{n}$ 均為合成數。

截止2009年4月，已知的卡倫質數有141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828 (OEIS:A005849)，n=1354000以下的卡倫質數已被找到。可是，「存在無限個卡倫質數」這問題仍屬猜想。

是否存在質數 $p$ 使得 $C_{p}$ 為質數同樣為疑問。

參考

Cullen, James (1905). Question 15897. Educ. Times (December 1905), 534.