分數

分數有各種不同的用法與意義：

• 兩個整數的比例：${\displaystyle {\frac {a}{b}}\equiv a:b\ (a,b\in \mathbb {Z} ,a,b\neq 0)}$ ，這是兩個數量的比較關係。
• 有理數：可以表達為兩個整數的分數的數稱為有理數。就數系來說，整數分數與有理數是同義詞。
• 整數除法：${\displaystyle {\frac {a}{b}}\equiv a\div b\ (a,b\in \mathbb {Z} ,b\neq 0)}$ ，結果會是一個整數、有限小數或循環小數。
• 等分：${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$ 表示將全部分成三等份，然後只取其中的一份。這稱為單位分數（unit fraction），參見古埃及分數。${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$ 也就是${\displaystyle 3}$ 這個整數的倒數。

這些概念在數學裡都是相通的，只是在不同的使用場合中有其實際意義。

最簡分數（既约分数）（irreducible fraction）

分子是整數，分母是正整數，且分子和分母互質的分數。例如：${\displaystyle {\frac {4}{~{}15~{}}}}$ 

真分數（proper fraction）

除商小於1、大於0的分數，即分子小於分母的分数。當分子一樣大的時候，分母越大則值就越小，當分母一樣的時候，分子越大，數值就越大。例如：${\displaystyle {\frac {3}{~{}7~{}}}}$ 

假分數（top-heavy/improper fraction）

假分数是指除商不小於1的分數，即分子等於或大於分母的分数，可寫成帶分數。例如：${\displaystyle {\frac {5}{~{}3~{}}}}$ 和${\displaystyle {\frac {8}{~{}8~{}}}}$ 

帶分數（mixed numeral、mixed fraction、mixed number^[1]）

一個整數（whole number）加一個真分數，例如${\displaystyle a{\frac {b}{c}}}$ ，讀作「a又c分之b」；又例如${\displaystyle 1{\frac {1}{~{}2~{}}}}$ ，就是一又二分之一。可寫成假分數，與${\displaystyle {\frac {~{}(a\times c)+b~{}}{c}}}$ 等價。

十進位分數（decimal fraction）

分母為${\displaystyle 10}$ 的次方的分數稱為十進位分數，通常使用小數的形式來表達，例如，${\displaystyle {\frac {1}{100}}}$ 一般记为${\displaystyle 0.01}$ ，也可以百分率簡記為${\displaystyle 1\%}$ ，或是以${\displaystyle 10}$ 的冪記為${\displaystyle 10^{-2}}$ 。

單位分數

分子為1，分母是整數的分數。也可視為該整數的倒數。例如：${\displaystyle {\frac {1}{~{}99~{}}}}$ 

古埃及分數（Egyptian fraction）

將分數表達成單位分數之和。例如：${\displaystyle {\frac {19}{~{}20~{}}}={\frac {1}{~{}2~{}}}+{\frac {1}{~{}3~{}}}+{\frac {1}{~{}9~{}}}+{\frac {1}{~{}180~{}}}}$ 

繁分數

分子和/或分母包含了分數的分數，例如${\displaystyle {\frac {~{}{\frac {a}{~{}b~{}}}~{}}{\frac {c}{~{}d~{}}}}}$ 。可以用“外乘外、內乘內”的方法簡化，即前面的式子等于${\displaystyle {\frac {ad}{~{}bc~{}}}}$ 。

連分數

外觀如${\displaystyle x=a_{0}+{\frac {1}{~{}a_{1}+{\frac {1}{~{}a_{2}+{\frac {1}{~{}a_{3}+\dots }}}}}}}$ 的分數，其中${\displaystyle a_{i}}$ 是整數。若只有有限個${\displaystyle a_{i}}$ 非零，則連分數是一個分數。

分數如自然數般，跟從互聯律、結合律、分配律和反除以零的規則。

一個分數約分後或擴分後，其分數與原來之分數的值相等，稱為等值分數。

「約分」是將一個分數的分子和分母同除以一個比1大的整數（它們的公因數）。 約分後的分數和原來分數的值相等。${\displaystyle {\frac {3}{6}}={\frac {1}{2}}}$ 

前面的數字的分子和分母皆除以三

擴分

「擴分」是將一個分數的分子和分母同乘以比1大的數。擴分後的分數和原來分數的值相等。${\displaystyle {\frac {1}{2}}={\frac {2}{4}}}$ 

前面的數字的分子和分母皆乘以二

通分

「通分」是利用約分或擴分，將兩個分母不同的分數，分别化為同分母的分數。

筆算分數的加減法時，必須將分母用予倍的方法化成同一數字才能進行同級分數之和或差，這個過程稱為「擴分」、「通分」、「通分母擴分子」等等，為了方便地求得所須分母，計算時一般以加數和被加數的最小公倍數作為新的分母。然後將事先倍大了的分子加上，合成和後再作約簡。例如：

• ${\displaystyle {\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}={\frac {1+1}{4}}={\frac {2}{4}}={\frac {1}{2}}}$ 

• ${\displaystyle {\frac {1}{5}}+{\frac {1}{3}}={\frac {3}{15}}+{\frac {5}{15}}={\frac {3+5}{15}}={\frac {8}{15}}}$ 

分數乘法最晚在中國秦代即有，里耶秦簡博物館館長彭成剛表示：里耶秦簡秦朝「九九表」每枚木牘上豎寫的數字連起來就是一個乘法運算，更為驚奇的是，中國當時還出現了分數乘法，例如二乘以二分之一等於一。分數的乘除無視分子母的特性，將分子和分母各自處理便可，但是由於整數除法亦容易引起小數，加上不適合出現於分數形式，而且除法也是乘法的逆函數，故此計算時一般將被除數化成其倒數，把除法改為乘法較為方便。例如：

${\displaystyle \quad {\frac {1}{5}}\div {\frac {7}{11}}=({\frac {1}{5}}\times 11)\div ({\frac {7}{11}}\times 11)=({\frac {1}{5}}\times 11)\div 7=({\frac {1}{5}}\times 11\times {\frac {1}{7}})\div (7\times {\frac {1}{7}})}$ 

${\displaystyle ={\frac {1}{5}}\times {\frac {11}{7}}={\frac {1\times 11}{5\times 7}}={\frac {11}{35}}}$ 

• 有理數
• 倒數
• 除以零
• 法里數列
• 連分數
• 分母有理化
• 偶然對消

 

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• Fraction, arithmetical. The Online Encyclopaedia of Mathematics. [2015-06-03]. （原始内容存档于2014-10-21）. 
• 埃里克·韦斯坦因. Fraction. MathWorld. 
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• Fraction. PlanetMath. [2015-06-03]. （原始内容存档于2011-10-11）. 
• Online program for exact conversion between fractions and decimals
• Online Fractions Calculator with detailed solution
• Fraction Practice （页面存档备份，存于互联网档案馆） endless numbers of Fraction problems with various levels of difficulties.