二體問題

在一個物理系統裏，假設兩個粒子的質量分別為${\displaystyle m_{1}\,\!}$ 、${\displaystyle m_{2}\,\!}$ ，在時間${\displaystyle t=0\,\!}$ 的初始位置分別為${\displaystyle \mathbf {x} _{10}\,\!}$ 、${\displaystyle \mathbf {x} _{20}\,\!}$ ，初始速度分別為${\displaystyle \mathbf {v} _{10}\,\!}$ 、${\displaystyle \mathbf {v} _{20}\,\!}$ ，計算這兩個粒子的軌跡函數${\displaystyle \mathbf {x} _{1}(t)\,\!}$ 及${\displaystyle \mathbf {x} _{2}(t)\,\!}$ 的問題，稱為二體問題。

根據牛頓第二定律：

${\displaystyle \mathbf {F} _{12}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=m_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}_{1}\,\!}$  —— (1)、

${\displaystyle \mathbf {F} _{21}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=m_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}\,\!}$  —— (2)；

其中，${\displaystyle \mathbf {F} _{AB}\,\!}$ 表示粒子B施加於粒子A的作用力。

 

將方程式(1)與方程式(2)相加，可以得到一個方程式，專門描述兩個粒子的質心運動。將方程式(1)與方程式(2)的相減，則可得到描述兩個粒子相對的位移向量${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\,\!}$ 與時間之間的關係。將這兩個獨立的單體問題的解答結合起來，就可以求得軌跡函數${\displaystyle \mathbf {x} _{1}(t)\,\!}$ 和${\displaystyle \mathbf {x} _{2}(t)\,\!}$ 。

質心的位置由兩個粒子的位置和質量給出：

${\displaystyle \mathbf {x} _{cm}\ {\stackrel {def}{=}}\ (m_{1}\mathbf {x} _{1}+m_{2}\mathbf {x} _{2})/M\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle M=m_{1}+m_{2}\,\!}$ 是系統的總質量。

質心的加速度為：

${\displaystyle {\ddot {\mathbf {x} }}_{cm}=(m_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}_{1}+m_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}_{2})/M\,\!}$ 。

由於沒有外力作用，將方程式(1)與(2)相加，根據牛頓第三定律，可以得到

${\displaystyle M{\ddot {\mathbf {x} }}_{cm}=\mathbf {F} _{12}+\mathbf {F} _{21}=0\,\!}$ 。

因此，質心的加速度等於零，質心的速度${\displaystyle \mathbf {v} _{cm}\,\!}$ 為常數：

${\displaystyle \mathbf {v} _{cm}={\dot {\mathbf {x} }}_{cm}=(m_{1}\mathbf {v} _{10}+m_{2}\mathbf {v} _{20})/M\,\!}$ 。

這物理系統的動量守恆：

${\displaystyle m_{1}\mathbf {v} _{1}+m_{2}\mathbf {v} _{2}=M\mathbf {v} _{cm}=m_{1}\mathbf {v} _{10}+m_{2}\mathbf {v} _{20}\,\!}$ 。

從兩個粒子的初始位置和初始速度，就可以決定質心在任意時間的位置：

${\displaystyle \mathbf {x} _{cm}=\mathbf {v} _{cm}t+(m_{1}\mathbf {x} _{10}+m_{2}\mathbf {x} _{20})/M\,\!}$ 。

將方程式(1)、(2)分別除以${\displaystyle m_{1}\,\!}$ 、${\displaystyle m_{2}\,\!}$ ，然後相減，可以得到

${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}={\ddot {\mathbf {x} }}_{1}-{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}=\left({\frac {\mathbf {F} _{12}}{m_{1}}}-{\frac {\mathbf {F} _{21}}{m_{2}}}\right)\,\!}$ 。

其中，${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ 是個從粒子2位置指到粒子1位置的位移向量。

應用牛頓第三定律，${\displaystyle \mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}\,\!}$ 。所以，

${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}=\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)\mathbf {F} _{12}\,\!}$ 。

兩個粒子之間的作用力應該只是相對位置${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ 的函數，而不是絕對位置${\displaystyle \mathbf {x} _{1}\,\!}$ 、${\displaystyle \mathbf {x} _{2}\,\!}$ 的函數；否則，無法滿足物理的平移對稱，物理定律會因地而易，二體之間的物理關係無法普遍地成立於全宇宙。換句話說，在宇宙中，兩個粒子的絕對位置無關緊要，因為它們是宇宙中唯一的兩個粒子，是互相施加於彼此的作用力的源頭。誠然地，這是一個不實際的問題，可以被視為一個思想實驗。為了滿足這問題的要求，兩個粒子之間的作用力必須只是相對位置${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ 的函數。這樣，相減得到的方程式寫為

${\displaystyle \mu {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} _{12}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=\mathbf {F} (\mathbf {r} )\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle \mu =m_{1}m_{2}/M\,\!}$ 是約化質量。

一旦求得函數${\displaystyle \mathbf {x} _{cm}(t)\,\!}$ 與${\displaystyle \mathbf {r} (t)\,\!}$ ，就可以計算出兩個粒子的軌跡方程式${\displaystyle \mathbf {x} _{1}(t)\,\!}$ 與${\displaystyle \mathbf {x} _{2}(t)\,\!}$ ：

${\displaystyle \mathbf {x} _{1}(t)=\mathbf {x} _{cm}(t)+m_{2}\mathbf {r} (t)/M\,\!}$ 、

${\displaystyle \mathbf {x} _{2}(t)=\mathbf {x} _{cm}(t)-m_{1}\mathbf {r} (t)/M\,\!}$ 。

兩個粒子的總角動量${\displaystyle \mathbf {L} _{tot}\,\!}$ 為

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} _{tot}&=\mathbf {x} _{1}\times (m_{1}{\dot {\mathbf {x} }}_{1})+\mathbf {x} _{2}\times (m_{2}{\dot {\mathbf {x} }}_{2})=\mathbf {x} _{cm}\times M{\dot {\mathbf {x} }}_{cm}+\mathbf {r} \times \mu {\dot {\mathbf {r} }}\\&=\mathbf {L} _{cm}+\mathbf {L} _{rel}\\\end{aligned}}\,\!}$ 

其中，${\displaystyle \mathbf {L} _{cm}=\mathbf {x} _{cm}\times M{\dot {\mathbf {x} }}_{cm}\,\!}$ 是質心對於原點的角動量，${\displaystyle \mathbf {L} _{rel}=\mathbf {r} \times \mu {\dot {\mathbf {r} }}\,\!}$ 是兩個粒子對於質心的角動量。

回想前面質心的軌跡方程式，

${\displaystyle \mathbf {x} _{cm}=\mathbf {v} _{cm}t+(m_{1}\mathbf {x} _{10}+m_{2}\mathbf {x} _{20})/M\,\!}$ 。

為了簡化分析，設定質心的初始位置為${\displaystyle 0\,\!}$ 。也就是說，質心的直線運動經過原點。那麼，

${\displaystyle \mathbf {L} _{cm}=\mathbf {v} _{cm}t\times M\mathbf {v} _{cm}=0\,\!}$ 、

${\displaystyle \mathbf {L} _{tot}=\mathbf {L} _{rel}\,\!}$ 。

二体问题常用的换元的技巧是通过 ${\displaystyle u=1/r\!}$  和 ${\displaystyle {\dot {\theta }}=Lu^{2}/m\!}$  将原方程中对时间的求导转化为对角度 ${\displaystyle \theta \!}$  的求导，并得到Sturm-Liouville型方程^[2]

${\displaystyle (Lu')'+Lu=1/L\!}$ 

二體問題的總力矩${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{tot}\,\!}$ 是

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{tot}=\mathbf {x} _{1}\times \mathbf {F} _{12}+\mathbf {x} _{2}\times \mathbf {F} _{21}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} _{12}\,\!}$ 。

在物理學裏，時常會遇到的萬有引力、靜電力等等，都是連心力。假設，作用力${\displaystyle \mathbf {F} _{12}\,\!}$ 是連心力，則${\displaystyle \mathbf {F} _{12}\,\!}$ 與${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ 同直線，總力矩${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{tot}\,\!}$ 等於0。根據角動量守恆定律，

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{tot}={\frac {d\mathbf {L} _{tot}}{dt}}\,\!}$ 。

因此，總角動量${\displaystyle \mathbf {L} _{tot}\,\!}$ 是個常數，總角動量守恆。

請注意，並不是每一種力都是連心力。假設，兩個粒子是帶電粒子。由必歐-沙伐定律與勞侖茲力定律所算出的作用力和反作用力並不是連心力。總力矩${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{tot}\,\!}$ 不等於0。總角動量不守恆；這是因為還有角動量並沒有被計算在內。假若，將電磁場的角動量計算在內，則角動量守恆定律仍舊成立^[3]。

在很多物理系統裏，作用力${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )\,\!}$ 是一種連心力，以方程式表示為

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=F(r){\hat {\mathbf {r} }}}$ ；

其中，${\displaystyle r\,\!}$ 是徑向距離，${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}\,\!}$ 是徑向單位向量。

這物理系統的運動方程式為

${\displaystyle \mu {\ddot {\mathbf {r} }}={F}(r){\hat {\mathbf {r} }}\,\!}$ 。

更詳盡細節，請參閱條目經典連心力問題（classical central force problem）。

總角動量與${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ 的點積為

${\displaystyle \mathbf {r} \cdot \mathbf {L} _{tot}=\mathbf {r} \cdot (\mathbf {r} \times (\mu {\dot {\mathbf {r} }}))=0\,\!}$ 。

這兩個粒子的運動軌道必定包含於垂直於${\displaystyle \mathbf {L} _{tot}\,\!}$ 的平面。假設作用力為連心力，則由於角動量守恆，這兩個粒子必定運動於某特定平面，而常數向量${\displaystyle \mathbf {L} _{tot}\,\!}$ 垂直於這平面。

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