邱奇数

邱奇编码是把数据和运算符嵌入到lambda演算内的一种方式，最常见的形式即邱奇数，它使用lambda符号表示自然数。方法得名于阿隆佐·邱奇，他首先以这种方法把数据编码到lambda演算中。

透過邱奇編碼，在其他符号系统中通常被认定为基本的项（比如整数、布尔值、有序对、列表和tagged unions）都會被映射到高阶函数。在無型別lambda演算，函數是唯一的原始型別。

邱奇編碼本身並非用來實踐原始型別，而是透過它來展現我們不須額外原始型別即可表達計算。

很多学数学的学生熟悉可计算函数集合的哥德尔编号；邱奇编码是定义在lambda抽象而不是自然数上的等价运算。

邱奇数為使用邱奇编码的自然数表示法，而用以表示自然数${\displaystyle n}$的高阶函数是個任意函数${\displaystyle f}$映射到它自身的n重函数复合之函数，簡言之，數的「值」即等價於參數被函數包裹的次數。

${\displaystyle f^{\circ n}=\underbrace {f\circ f\circ \cdots \circ f} _{n{\text{ 次}}}.\,}$

不論邱奇數為何，其都是接受兩個參數的函數。

${\displaystyle {\begin{array}{r|l|l}{\text{ 自 然 數}}&{\text{函 數 定 義}}&{\text{lambda 表 達 式}}\\\hline 0&0\ f\ x=x&0=\lambda f.\lambda x.x\\1&1\ f\ x=f\ x&1=\lambda f.\lambda x.f\ x\\2&2\ f\ x=f\ (f\ x)&2=\lambda f.\lambda x.f\ (f\ x)\\3&3\ f\ x=f\ (f\ (f\ x))&3=\lambda f.\lambda x.f\ (f\ (f\ x))\\\vdots &\vdots &\vdots \\n&n\ f\ x=f^{n}\ x&n=\lambda f.\lambda x.f^{\circ n}\ x\end{array}}}$

就是说，自然数${\displaystyle n}$被表示为邱奇数n，它对于任何lambda-项F和X有着性质：

n F X =_β Fn X。

在 lambda 演算中，数值函数被表示为在邱奇数上的相应函数。这些函数在大多数函数式语言中可以通过 lambda 项的直接变换来实现（服从于类型约束）。

加法函数 ${\displaystyle {\text{plus}}(m,n)=m+n}$ 利用了恒等式 ${\displaystyle f^{(m+n)}(x)=f^{m}(f^{n}(x))}$。

plus ≡ λm.λn.λf.λx. m f (n f x)

后继函数 ${\displaystyle {\text{succ}}(n)=n+1}$ β-等价于（plus 1）。

succ ≡ λn.λf.λx. f (n f x)

乘法函数 ${\displaystyle {\text{times}}(m,n)=m\times n}$ 利用了恒等式 ${\displaystyle f^{(m\times n)}=(f^{m})^{n}}$。

mult ≡ λm.λn.λf. n (m f)

指数函数 ${\displaystyle \exp(m,n)=m^{n}}$ 由邱奇数定义直接给出。

exp ≡ λm.λn. n m

前驱函数 ${\displaystyle {\text{pred}}(n)={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n=0,\\n-1&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$ 通过生成每次都应用它们的参数 g 于 f 的 ${\displaystyle n}$ 重函数复合来工作；基础情况丢弃它的 f 复本并返回 x。

pred ≡ λn.λf.λx. n (λg.λh. h (g f)) (λu. x) (λu. u)

函數	代數	等同	函數定義	Lambda 表達式
後繼	${\displaystyle n+1}$	${\displaystyle f^{n+1}\ x=f(f^{n}x)}$	${\displaystyle \operatorname {succ} \ n\ f\ x=f\ (n\ f\ x)}$	${\displaystyle \lambda n.\lambda f.\lambda x.f\ (n\ f\ x)}$	...
加法	${\displaystyle m+n}$	${\displaystyle f^{m+n}\ x=f^{m}(f^{n}x)}$	${\displaystyle \operatorname {plus} \ m\ n\ f\ x=m\ f\ (n\ f\ x)}$	${\displaystyle \lambda m.\lambda n.\lambda f.\lambda x.m\ f\ (n\ f\ x)}$	${\displaystyle \lambda m.\lambda n.n\operatorname {succ} m}$
乘法	${\displaystyle m\times n}$	${\displaystyle f^{m\times n}\ x=(f^{m})^{n}\ x}$	${\displaystyle \operatorname {multiply} \ m\ n\ f\ x=m\ (n\ f)\ x}$	${\displaystyle \lambda m.\lambda n.\lambda f.\lambda x.m\ (n\ f)\ x}$	${\displaystyle \lambda m.\lambda n.\lambda f.m\ (n\ f)}$
指數	${\displaystyle m^{n}}$	${\displaystyle n\ m\ f=m^{n}\ f}$[1]	${\displaystyle \operatorname {exp} \ m\ n\ f\ x=(n\ m)\ f\ x}$	${\displaystyle \lambda m.\lambda n.\lambda f.\lambda x.(n\ m)\ f\ x}$	${\displaystyle \lambda m.\lambda n.n\ m}$
前驅*	${\displaystyle n-1}$	${\displaystyle \operatorname {inc} ^{n}\operatorname {con} =\operatorname {val} (f^{n-1}x)}$	${\displaystyle if(n==0)\ 0\ else\ (n-1)}$	${\displaystyle \lambda n.\lambda f.\lambda x.n\ (\lambda g.\lambda h.h\ (g\ f))\ (\lambda u.x)\ (\lambda u.u)}$
減法*	${\displaystyle m-n}$	${\displaystyle f^{m-n}\ x=(f^{-1})^{n}(f^{m}x)}$	${\displaystyle \operatorname {minus} \ m\ n=(n\operatorname {pred} )\ m}$	...	${\displaystyle \lambda m.\lambda n.n\operatorname {pred} m}$

* 注意在邱奇編碼中,

• ${\displaystyle \operatorname {pred} (0)=0}$
• ${\displaystyle m<n\to m-n=0}$

以下列定義可實作自然數的除法

${\displaystyle n/m=\operatorname {if} \ n\geq m\ \operatorname {then} \ 1+(n-m)/m\ \operatorname {else} \ 0}$

計算 ${\displaystyle n}$ 除以 ${\displaystyle m}$ 的遞迴相減時，將會計算很多次的beta歸約。除非以紙筆手工來做，那麼多步驟倒無關緊要，
但我們不想一直重複瑣碎的歸約；而判別數字是否為零的函式是 IsZero，所以考慮下列條件：

${\displaystyle \operatorname {IsZero} \ (\operatorname {minus} \ n\ m)}$

這個判別式相當於 ${\displaystyle n}$ 小於等於 ${\displaystyle m}$ 而非 ${\displaystyle n}$ 小於 ${\displaystyle m}$。如果使用這式子，那麼要將上面給出的除法定義，
轉化為邱奇編碼的自然數函數如下，

${\displaystyle \operatorname {divide1} \ n\ m\ f\ x=(\lambda d.\operatorname {IsZero} \ d\ (0\ f\ x)\ (f\ (\operatorname {divide1} \ d\ m\ f\ x)))\ (\operatorname {minus} \ n\ m)}$

這樣的定義只呼叫了一次 ${\displaystyle n}$ 減去 ${\displaystyle m}$，正如我們所想的。然而問題是這式子計算成錯誤的結果，
是 (n-1)/m 除法的商。要更正則需在呼叫 divide 之前把 ${\displaystyle n}$ 再加回 1。 因此除法的正確定義是，

${\displaystyle \operatorname {divide} \ n=\operatorname {divide1} \ (\operatorname {succ} \ n)}$

divide1 是一個內含遞迴的定義式，要以 Y 組合子來發生遞迴作用。 所以要再宣告一個名為 div 的新函數；

• 等號左側為 divide1 → div c
• 等號右側為 divide1 → c

要獲得

${\displaystyle \operatorname {div} =\lambda c.\lambda n.\lambda m.\lambda f.\lambda x.(\lambda d.\operatorname {IsZero} \ d\ (0\ f\ x)\ (f\ (c\ d\ m\ f\ x)))\ (\operatorname {minus} \ n\ m)}$

那麼

${\displaystyle \operatorname {divide} =\lambda n.\operatorname {divide1} \ (\operatorname {succ} \ n)}$

而式中所用的其它函式定義如下列：

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {divide1} &=Y\ \operatorname {div} \\\operatorname {succ} &=\lambda n.\lambda f.\lambda x.f\ (n\ f\ x)\\Y&=\lambda f.(\lambda x.f\ (x\ x))\ (\lambda x.f\ (x\ x))\\0&=\lambda f.\lambda x.x\\\operatorname {IsZero} &=\lambda n.n\ (\lambda x.\operatorname {false} )\ \operatorname {true} \end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {true} &\equiv \lambda a.\lambda b.a\\\operatorname {false} &\equiv \lambda a.\lambda b.b\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {minus} &=\lambda m.\lambda n.n\operatorname {pred} m\\\operatorname {pred} &=\lambda n.\lambda f.\lambda x.n\ (\lambda g.\lambda h.h\ (g\ f))\ (\lambda u.x)\ (\lambda u.u)\end{aligned}}}$

使用倒斜線 \ 代替 λ 符號，完整的除法函式則如下列，

divide = (\n.((\f.(\x.x x) (\x.f (x x))) (\c.\n.\m.\f.\x.(\d.(\n.n (\x.(\a.\b.b)) (\a.\b.a)) d ((\f.\x.x) f x) (f (c d m f x))) ((\m.\n.n (\n.\f.\x.n (\g.\h.h (g f)) (\u.x) (\u.u)) m) n m))) ((\n.\f.\x. f (n f x)) n))

大部分真實世界的程式語言都提供原生於機器的整數，church 與 unchurch 函式會在整數及與之對應的邱奇數間轉換。這裡使用Haskell撰寫函式， \ 等同於lambda演算的 λ。 用其它語言表達也會很類似。

type Church a = (a -> a) -> a -> a

church :: Integer -> Church Integer
church 0 = \f -> \x -> x
church n = \f -> \x -> f (church (n-1) f x)

unchurch :: Church Integer -> Integer
unchurch cn = cn (+ 1) 0

邱奇布尔值是布尔值真和假的邱奇编码形式。某些程式語言使用這個方式來實踐布爾算術的模型，Smalltalk 即為一例。

布爾邏輯可以想成二選一，而布尔值則表示为有两个参数的函数，它得到两个参数中的一个：

• 真 則選擇第一個參數
• 假 則選擇第二個參數

邱奇布爾值在lambda演算中的形式定义如下：

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {true} &\equiv \lambda a.\lambda b.a\\\operatorname {false} &\equiv \lambda a.\lambda b.b\end{aligned}}}$

由於真、假 可以選擇第一個或第二個參數，所以其能夠由組合來產生邏輯運算子。注意到 not 版本因不同求值策略而有兩個。下列為从邱奇布尔值推导来的布尔算术的函数：

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {and} &=\lambda p.\lambda q.p\ q\ p\\\operatorname {or} &=\lambda p.\lambda q.p\ p\ q\\\operatorname {not} _{1}&=\lambda p.\lambda a.\lambda b.p\ b\ a\ ^{\scriptstyle {\text{*1}}}\\\operatorname {not} _{2}&=\lambda p.p\ (\lambda a.\lambda b.b)\ (\lambda a.\lambda b.a)=\lambda p.p\operatorname {false} \operatorname {true} \ ^{\scriptstyle {\text{*2}}}\\\operatorname {xor} &=\lambda a.\lambda b.a\ (\operatorname {not} \ b)\ b\\\operatorname {if} &=\lambda p.\lambda a.\lambda b.p\ a\ b\end{aligned}}}$

註：

• ¹ 求值策略使用應用次序時，這個方法才正確。
• ² 求值策略使用正常次序時，這個方法才正確。

下頭為一些範例：

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {and} \operatorname {true} \operatorname {false} &=(\lambda p.\lambda q.p\ q\ p)\ \operatorname {true} \ \operatorname {false} =\operatorname {true} \operatorname {false} \operatorname {true} =(\lambda a.\lambda b.a)\operatorname {false} \operatorname {true} =\operatorname {false} \\\operatorname {or} \operatorname {true} \operatorname {false} &=(\lambda p.\lambda q.p\ p\ q)\ (\lambda a.\lambda b.a)\ (\lambda a.\lambda b.b)=(\lambda a.\lambda b.a)\ (\lambda a.\lambda b.a)\ (\lambda a.\lambda b.b)=(\lambda a.\lambda b.a)=\operatorname {true} \\\operatorname {not} _{1}\ \operatorname {true} &=(\lambda p.\lambda a.\lambda b.p\ b\ a)(\lambda a.\lambda b.a)=\lambda a.\lambda b.(\lambda a.\lambda b.a)\ b\ a=\lambda a.\lambda b.(\lambda c.b)\ a=\lambda a.\lambda b.b=\operatorname {false} \\\operatorname {not} _{2}\ \operatorname {true} &=(\lambda p.p\ (\lambda a.\lambda b.b)(\lambda a.\lambda b.a))(\lambda a.\lambda b.a)=(\lambda a.\lambda b.a)(\lambda a.\lambda b.b)(\lambda a.\lambda b.a)=(\lambda b.(\lambda a.\lambda b.b))\ (\lambda a.\lambda b.a)=\lambda a.\lambda b.b=\operatorname {false} \end{aligned}}}$

• Lambda演算
• 系统F，在有类型lambda演算中的邱奇数

• Some interactive examples of Church numerals （页面存档备份，存于互联网档案馆）

1. ^ This formula is the definition of a Church numeral n with f -> m, x -> f.