虛數單位

高斯整數導航
			↑
			2i
		−1+i	i	1+i
←	−2	−1	0	1	2	→
		−1−i	−i	1−i
			−2i
			↓

各种各样的数

基本

${\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }$ 正數 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ 自然数 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 正整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ 小数 有限小数 无限小数 循环小数 有理数 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 代數數 ${\displaystyle \mathbb {A} }$ 实数 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 複數 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 高斯整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ 负数 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$ 整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 负整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}$ 分數 單位分數 二进分数 規矩數 無理數 超越數 虚数 ${\displaystyle \mathbb {I} }$ 二次無理數 艾森斯坦整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

延伸

二元数 四元數 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ 八元数 ${\displaystyle \mathbb {O} }$ 十六元數 ${\displaystyle \mathbb {S} }$ 超實數 ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ 大實數 上超實數 雙曲複數 雙複數 複四元數 共四元數（英语：Dual quaternion） 超复数 超數 超現實數

其他

質數 ${\displaystyle \mathbb {P} }$ 可計算數 基數 阿列夫數 同餘 整數數列 公稱值 規矩數 可定义数 序数 超限数 p進數 数学常数 圓周率 ${\displaystyle \pi =3.14159265}$… 自然對數的底 ${\displaystyle e=2.718281828}$… 虛數單位 ${\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}$ 無限大 ${\displaystyle \infty }$

查 论 编

在數學、物理及工程學裏，虛數單位是指二次方程${\displaystyle x^{2}+1=0}$的解。虽然沒有這樣的实数可以滿足這個二次方程，但可以通過虛數單位将實數系統${\displaystyle \mathbb {R} }$延伸至复数系統${\displaystyle \mathbb {C} }$。延伸的主要動機為有很多實係數多項式方程式無實數解。例如剛才提到的方程式${\displaystyle x^{2}+1=0}$就無實數解。可是倘若我們允許解答為虛數，那麼這方程式以及所有的多項式方程式都有解。虛數單位標記為${\displaystyle i}$，在电机工程和相关领域中则标记为${\displaystyle j}$，这是为了避免与电流（记为${\displaystyle i(t)}$或${\displaystyle i}$）混淆。

虛數單位${\displaystyle i}$定義為二次方程式${\displaystyle x^{2}+1=0}$的兩個根中的一個。這方程式又可等價表達為：

${\displaystyle {{x}^{2}}=-1}$。

由於實數的平方絕不可能是負數，我們假設有這麼一個數目解答，給它設定一個符號${\displaystyle i}$。很重要的一點是，${\displaystyle i}$是一個良定義的數學構造。

另外，虛數單位同樣可以表示為：

${\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}$

然而${\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}$往往被誤認為是錯的，他們的證明的方法是：

因為${\displaystyle -1=i\cdot i=\left({\sqrt {-1}}\right)\times \left({\sqrt {-1}}\right)={\sqrt {\left(-1\right)\times \left(-1\right)}}={\sqrt {1}}=1}$，但是-1不等於1。

但請注意：${\displaystyle {\sqrt {a\cdot b}}={\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}}$成立的條件有${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$不能為負數。

實數運算可以延伸至虛數與複數。當計算一個表達式時，我們只需要假設${\displaystyle i}$是一個未知數，然後依照${\displaystyle i}$的定義，替代任何${\displaystyle i^{2}}$的出現為-1。${\displaystyle i}$的更高整數冪數也可以替代為${\displaystyle -i}$，${\displaystyle 1}$，或${\displaystyle i}$，根據下述方程式：

${\displaystyle i^{3}=i^{2}i=(-1)i=-i}$，

${\displaystyle i^{4}=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1}$，

${\displaystyle i^{5}=i^{4}i=(1)i=i}$。

一般地，有以下的公式：

${\displaystyle i^{4n}=1}$

${\displaystyle i^{4n+1}=i}$

${\displaystyle i^{4n+2}=-1}$

${\displaystyle i^{4n+3}=-i}$

${\displaystyle i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}}$

其中${\displaystyle {\bmod {4}}}$表示被4除的余数。

方程${\displaystyle x^{2}=-1}$有两个不同的解，它们都是有效的，且互为共轭虚数及倒數。更加确切地，一旦固定了方程的一个解${\displaystyle i}$，那么${\displaystyle -i}$（不等于${\displaystyle i}$）也是一个解，由于这个方程是${\displaystyle i}$的唯一的定义，因此这个定义表面上有歧义。然而，只要把其中一个解选定，并固定为${\displaystyle i}$，那么实际上是没有歧义的。这是因为，虽然${\displaystyle -i}$和${\displaystyle i}$在数量上不是相等的（它们是一对共轭虚数），但是${\displaystyle i}$和${\displaystyle -i}$之间没有质量上的区别（-1和+1就不是这样的）。在任何的等式中同時將所有i替換為-i，該等式仍成立。

${\displaystyle -i^{2}=1}$

${\displaystyle -i=i^{-1}={\frac {1}{i}}}$

虚数单位有时记为${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$。但是，使用这种记法时需要非常谨慎，这是因为有些在实数范围内成立的公式在复数范围内并不成立。例如，公式${\displaystyle {\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}={\sqrt {a\cdot b}}}$仅对于非负的实数${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$才成立。

假若這個關係在虚数仍成立，則會出現以下情況：

${\displaystyle -1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1}$（不正确）

${\displaystyle -1=i\cdot i=\pm {\sqrt {-1}}\cdot \pm {\sqrt {-1}}=\pm {\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}=\pm {\sqrt {1}}=\pm 1}$（不正确）

${\displaystyle {\frac {1}{i}}={\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}}={\sqrt {\frac {1}{-1}}}={\sqrt {-1}}=i}$（不正确）

许多实数的运算都可以推广到${\displaystyle i}$，例如平方根、冪、对数和三角函数。以下运算除第一项外，均为与${\displaystyle i}$有关的多值函数，在实际应用时必须指明函数的定义选择在黎曼面的哪一支。下面列出的仅仅是最常采用的黎曼面分支的计算结果。

• ${\displaystyle i}$的平方根为：

${\displaystyle \pm \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\right)=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)}$

这是因为：

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right]^{2}&=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ \\&={\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\\&={\frac {1}{2}}(1+2i-1)\\&=i\end{aligned}}}$

使用算术平方根符号表示：

${\displaystyle {\sqrt {i}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)}$

其解法為先假設兩實數${\displaystyle x}$及${\displaystyle y}$，使得${\displaystyle (x+iy)^{2}=i}$，求解${\displaystyle x,y}$^[1]

• 一个数的${\displaystyle ni}$次幂为：

${\displaystyle x^{ni}=\cos \ln x^{n}+i\sin \ln x^{n}}$

一个数的${\displaystyle ni}$次方根为：

${\displaystyle {\sqrt[{ni}]{x}}=\cos \ln {\sqrt[{n}]{x}}-i\sin \ln {\sqrt[{n}]{x}}}$

利用歐拉公式

${\displaystyle i^{i}=\left[e^{i({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}\right]^{i}=e^{i^{2}({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}=e^{-({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}}$，${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$

代入不同的${\displaystyle k}$值，可計算出無限多的解。当${\displaystyle k=0}$最小的解是${\displaystyle e^{-{\frac {\pi }{2}}}\approx }$0.20787957635076...^[2]

• 以${\displaystyle i}$为底的对数为：

${\displaystyle \log _{i}x={{2\ln x} \over i\pi }}$

• ${\displaystyle i}$的余弦是一个实数：

${\displaystyle \cos i=\cosh 1={{e+{\frac {1}{e}}} \over 2}={{e^{2}+1} \over 2e}\approx }$1.5430806348152...

• ${\displaystyle i}$的正弦是纯虚数：

${\displaystyle \sin i=i\sinh 1={{e-{\frac {1}{e}}} \over 2}i={{e^{2}-1} \over 2e}i\approx }$1.1752011936438...${\displaystyle i}$

• 大部分的程式語言都不提供虛數單位，且平方根函數(大多為sqrt()或Math.Sqrt())的引數不可以是負數，因此，必須自行建立類別後方可使用。
• 但Lisp的许多实现与方言，如Common Lisp，内建虚数和複數的支持。不少动态语言受其影响，也在语言本身或标准库中支持虚数和複數，如Python、Ruby。
• 一些传统编程语言，如C语言，也从C99开始支持虚数和複數。
• 在Matlab，虛數單位的表示方法為i或j，但i和j在for迴圈可以有其他用途。
• 在Mathematica，虛數單位的表示方法為I、𝕚或𝕛。
• 在Maple，必須啟用虛數功能，並選擇用i還是j表示虛數單位。
• Go語言於第 1.0 版就内建虚数和複數的支持，變數類型為 complex64和complex128^[3]。

• 代數基本定理
• 虚数
• 复平面
• 单位根
• i

• Paul J. Nahin, An Imaginary Tale, The Story of √-1, Princeton University Press, 1998

• 欧拉对多项式的复数根的研究
• i作為-1的平方根（英文視頻）^{[永久失效連結]}
• ${\displaystyle i^{7321}}$的計算方法舉例（英文視頻）