Hình học phi Euclid

Bài viết này cần thêm chú thích nguồn gốc để kiểm chứng thông tin. Mời bạn giúp hoàn thiện bài viết này bằng cách bổ sung chú thích tới các nguồn đáng tin cậy. Các nội dung không có nguồn có thể bị nghi ngờ và xóa bỏ.

Hình học
Hình chiếu một mặt cầu lên mặt phẳng.
Đại cương Lịch sử
Phân nhánh Euclid Phi Euclid Elliptic Cầu Hyperbol Hình học phi Archimedes Chiếu Afin Tổng hợp Giải tích Đại số Số học Diophantos Vi phân Riemann Symplectic Phức Hữu hạn Rời rạc Kỹ thuật số Lồi Tính toán Fractal Liên thuộc
Khái niệm Chiều Phép dựng hình bằng thước kẻ và compa Đỉnh Đường cong Đường chéo Góc Song song Vuông góc Đối xứng Đồng dạng Tương đẳng
Không chiều Điểm
Một chiều Đường thẳng Đoạn thẳng Tia Chiều dài
Hai chiều Mặt phẳng Diện tích Đa giác Tam giác Đường cao (tam giác) Cạnh huyền Định lý Pythagoras Hình bình hành Hình vuông Hình chữ nhật Hình thoi Rhomboid Tứ giác Hình thang Hình diều Đường tròn Đường kính Chu vi Diện tích
Ba chiều Thể tích Khối lập phương Hình hộp chữ nhật Hình trụ tròn Hình chóp Mặt cầu
Bốn chiều / số chiều khác Tesseract Siêu cầu
Nhà hình học
theo tên Aida Aryabhata Ahmes Alhazen Apollonius Archimedes Atiyah Baudhayana Bolyai Brahmagupta Cartan Coxeter Descartes Euclid Euler Gauss Gromov Hilbert Jyeṣṭhadeva Kātyāyana Khayyám Klein Lobachevsky Manava Minkowski Minggatu Pascal Pythagoras Parameshvara Poincaré Riemann Sakabe Sijzi al-Tusi Veblen Virasena Yang Hui al-Yasamin Trương Hành
theo giai đoạn trước Công nguyên Ahmes Baudhayana Manava Pythagoras Euclid Archimedes Apollonius 1–1400s Trương Hành Kātyāyana Aryabhata Brahmagupta Virasena Alhazen Sijzi Khayyám al-Yasamin al-Tusi Yang Hui Parameshvara 1400s–1700s Jyeṣṭhadeva Descartes Pascal Minggatu Euler Sakabe Aida 1700s–1900s Gauss Lobachevsky Bolyai Riemann Klein Poincaré Hilbert Minkowski Cartan Veblen Coxeter Ngày nay Atiyah Gromov
x t s

Hình học phi Euclid là bộ môn hình học dựa trên cơ sở phủ nhận ít nhất một trong số những tiên đề Euclid. Hình học phi Euclid được bắt đầu bằng những công trình nghiên cứu của Lobachevsky (được Lobachevsky gọi là hình học trừu tượng) và phát triển bởi Bolyai, Gauss, Riemann.

Hình học phi Euclid là cơ sở toán học cho lý thuyết tương đối của Albert Einstein, thông qua việc đề cập đến độ cong hình học của không gian nhiều chiều.

Cha đẻ của bộ môn này là Nikolai Ivanovich Lobachevsky

Hình học Euclid dựa trên cơ sở công nhận, không cần chứng minh hệ thống các tiên đề sau:

• Qua hai điểm phân biệt, luôn vẽ được một đường thẳng
• Đường thẳng có thể kéo dài vô hạn
• Với một tâm bất kì và một bán kính bất kỳ, luôn vẽ được một cung tròn
• Mọi góc vuông đều bằng nhau
• Nếu hai đường thẳng phân biệt tạo thành với đường thẳng thứ ba một cặp góc trong cùng phía nhỏ hơn 180° thì chúng sẽ cắt nhau về phía đó

Lưu ý, các tiên đề Euclid ngầm hiểu là áp dụng trong hình học phẳng.

Hình học Lobachevsky (còn gọi hình học hyperbol) do nhà toán học Nga Nikolai Ivanovich Lobachevsky khởi xướng, dựa trên cơ sở bác bỏ tiên đề về đường thẳng song song. Lobachevsky giả thiết rằng từ một điểm ngoài đường thẳng ta có thể vẽ được hơn một đường thẳng khác, nằm trên cùng mặt phẳng với đường thẳng gốc, mà không giao nhau với đường thẳng gốc (đường thẳng song song). Từ đó, ông lập luận tiếp rằng từ điểm đó, có thể xác định được vô số đường thẳng khác cũng song song với đường thẳng gốc, từ đó xây dựng nên một hệ thống lập luận hình học logic.

Để xem xét hình học Lobachevsky ứng dụng vào lý thuyết không-thời gian cong, cần thiết phải xem lại khái niệm đường thẳng nối hai điểm. Trong lý thuyết tương đối rộng, trong cơ học lượng tử và trong vật lý thiên văn, người ta mặc nhiên thừa nhận đó là đường đi của tia sáng-sóng điện từ giữa hai điểm đó.

Trong hình học Euclid, tổng các góc trong của một tam giác bằng 180°, nhưng trong hình học phi Euclid, tổng các góc đó không bằng 180°, và phụ thuộc vào kích thước của tam giác đó.

Ngoài ra, trong hình học phi Euclid, đa giác có số cạnh nhỏ nhất không phải là tam giác mà là nhị giác

• 
  Trong hình học Hyperbolic, tổng các góc trong một tam giác nhỏ hơn 180°
• 
  Trên hình học mặt cầu, tổng các góc trong của một tam giác cầu lớn hơn 180°

• Tiên đề
• Lý thuyết tiên đề
• Khái niệm cơ bản
• Tiên đề chọn
• Hình học Euclid
• Hình học Riemann
• Hình học cầu
• Hình học afin

Wikimedia Commons có thêm hình ảnh và phương tiện truyền tải về Hình học phi Euclid.

Tiếng Việt:

• Khái niệm hình học phi Euclid trên Diễn đàn toán học phần 1, phần 2 và phần 3
• Lôbachepxki (hình học) tại Từ điển bách khoa Việt Nam
• Hình học phi Ơclit tại Từ điển bách khoa Việt Nam

Tiếng Anh:

• Non-Euclidean geometry (mathematics) tại Encyclopædia Britannica (tiếng Anh)
• What is Non-Euclidean Geometry
• The Geometry of the Sphere Lưu trữ 2011-06-21 tại Wayback Machine