Pi sayısı

Matematikçiler tarafından bir çemberin çevresinin çapına oranını temsil etmek için kullanılan sembol küçük harf Yunanca harf π'dir ve bazen pi olarak yazılır.^[9] İngilizcede π, "pay" olarak telaffuz edilir (/paɪ/ PY).^[10] Matematiksel kullanımda, küçük harf π, bir dizinin çarpımı anlamına gelen büyük harfli ve büyütülmüş karşılığı, (Σ gibi toplam anlamına gelen) Π'dan ayırt edilir.

π sembolünün seçimi π sembolünün benimsenmesi bölümünde tartışılmaktadır.

 

π genellikle bir daire'nin çevresi C ile çapı d) arasındaki oran olarak tanımlanır :^[11]

$${\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}}$$ 

Dairenin boyutuna bakılmaksızın C/d oranı sabittir. Örneğin, bir dairenin çapı başka bir dairenin iki katıysa, C/d oranını koruyarak çevresi de iki katına sahip olacaktır. Bu π tanımı dolaylı olarak düz (Öklid) geometrisi kullanır; daire kavramı herhangi bir eğri (Öklid dışı) geometri'ye genişletilebilse de, bu yeni daireler artık π = C/d karşılamayacaktır.^[11]

Burada, bir dairenin çevresi, dairenin çevre etrafındaki yay uzunluğu'dur; limit(kalkülüste bir kavram) kullanılarak geometriden bağımsız olarak resmi olarak tanımlanabilen bir niceliktir.^[12] Örneğin, birim çemberin üst yarısının yay uzunluğu Kartezyen koordinatlar'da x² + y² = 1 denklemiyle doğrudan hesaplanabilir, integral olarak:^[13]

$${\displaystyle \pi =\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}$$ 

Bunun gibi bir integral, onu 1841'de doğrudan bir integral olarak tanımlayan Karl Weierstrass tarafından π'nin tanımı olarak benimsendi.^[b]

Artık integral ilk analitik tanımda yaygın olarak kullanılmaz, çünkü, Remmert 2012'nin açıkladığı gibi, diferansiyel kalkülüs üniversite müfredatında tipik olarak integral hesabından önce gelir, dolayısıyla ikincisine dayanmayan bir π bir tanımının olması arzu edilir. Richard Baltzer'e ^[14] dayanan ve Edmund Landau ^[15] tarafından yaygınlaştırılan böyle bir tanım şöyledir: π, kosinüs fonksiyonunun 0'a eşit olduğu en küçük pozitif sayının iki katıdır.^[11][13][16] π ayrıca sinüs fonksiyonunun sıfıra eşit olduğu en küçük pozitif sayı ve sinüs fonksiyonunun ardışık sıfırları arasındaki farktır. Kosinüs ve sinüs, geometriden bağımsız olarak bir kuvvet serisi ^[17] veya bir diferansiyel denklem ^[16] çözümü olarak tanımlanabilir.

Benzer şekilde, π, bir exp z karmaşık değişkeninin, karmaşık üsteli exp z nin özellikleri kullanılarak tanımlanabilir. Kosinüs gibi, karmaşık üstel de birkaç yoldan biriyle tanımlanabilir. exp z'nin bire eşit olduğu karmaşık sayılar kümesi, şu şekilde (hayali) bir aritmetik ilerlemedir:

$${\displaystyle \{\dots ,-2\pi i,0,2\pi i,4\pi i,\dots \}=\{2\pi ki\mid k\in \mathbb {Z} \}}$$ 

ve bu özelliğe sahip benzersiz bir pozitif gerçek sayı, π vardır.^[13][18]

Topoloji ve cebir gibi karmaşık matematiksel kavramlardan yararlanan aynı fikrin bir varyasyonu aşağıdaki teoremdir:^[19] Toplama modulo tam sayıları altındaki reel sayıların R/Z grubundan (çember grubu), mutlak değeri bir olan karmaşık sayıların çarpımsal grubuna, benzersiz (otomorfizma) bir sürekli izomorfizma vardır. π sayısı, bu homomorfizmin türevinin büyüklüğünün yarısı olarak tanımlanır.^[20]

π bir irrasyonel sayı'dır, yani iki tam sayının oranı olarak yazılamaz. 22/7 ve 355/113 gibi kesirler genellikle π'ye yaklaşmak için kullanılır, ancak hiçbir bayağı kesir (tam sayıların oranı) tam değeri olamaz.^[21] π irrasyonel olduğundan, ondalık gösterimi içinde sonsuz sayıda basamak vardır ve sonsuz örüntü basamaklara yerleşmez. π}'nin irrasyonel olduğunun birkaç kanıtı vardır; genellikle cebir gerektirirler ve reductio ad absurdum tekniğini kullanılır. π'nin rasyonel sayılar ile yaklaşık olarak hesaplanabileceği derece kesin olarak bilinmiyor; tahminler, irrasyonalite ölçüsünün e veya ln 2 ölçüsünden büyük ama Liouville sayısı ölçüsünden küçük olduğunu ortaya koymuştur.^[22]

π rakamlarının görünür bir örüntüsü yoktur ve normallik testleri dahil olmak üzere istatistiksel rastgelelik testlerini geçmiştir; tüm olası basamak dizileri (herhangi bir uzunluktaki) eşit sıklıkta göründüğünde, sonsuz uzunlukta bir sayı normal olarak adlandırılır. π'nin normal olduğu varsayımı kanıtlanmadı veya çürütülmedi.^[23]

Bilgisayarların icadından bu yana, üzerinde istatistiksel analiz yapmak için çok sayıda π basamağı mevcuttu. Yasumasa Kanada, π'nin ondalık basamakları üzerinde ayrıntılı istatistiksel analizler yaptı ve bunları normallikle tutarlı buldu; örneğin, 0 ila 9 arasındaki on hanenin ne kadar sıklıkta olduğu istatistiksel anlamlılık testlerine tabi tutuldu ve bir örüntüye dair hiçbir kanıt bulunamadı.^[24] Herhangi bir rastgele basamak dizisi, sonsuz maymun teoremi ile rastgele olmayan görünen uzun alt diziler içerir. Bu nedenle, π'nin rakam dizisi rastgelelik için istatistiksel testlerden geçtiğinden, ondalık gösteriminin 762. ondalık basamağından başlayan, altı ardışık 9'lu dizi gibi rastgele görünmeyebilecek bazı rakam dizileri içerir.^[25] Bu, matematiksel folklor'da Richard Feynman'a atfen "Feynman noktası" olarak da adlandırılır ancak Feynman ile hiçbir bağlantısı bilinmemektedir.

 

π irrasyonel olmasının yanı sıra bir aşkın sayı'dır, bu da x⁵/120 − x³/6 + x = 0 gibi rasyonel katsayılı herhangi bir sabit olmayan polinom denklemi'nin çözümü olamayacağı anlamına gelir.^[26][c]

π aşkınlığının iki önemli sonucu vardır: İlk olarak, π, rasyonel sayılar ve kareköklerin veya n-inci köklerin (^{3 gibi)} √31 veya √10 gibi) herhangi bir sonlu kombinasyonu kullanılarak ifade edilemez. İkincisi, hiçbir aşkın sayı pergel ve cetvel ile oluşturulamadığından, "daireyi kareleştirme" mümkün değildir. Başka bir deyişle, yalnızca pergel ve cetvel kullanarak, alanı belirli bir dairenin alanına tam olarak eşit olan bir kare oluşturmak imkansızdır.^[27] Bir daireyi kareleştirmek, klasik antik çağın önemli geometri problemlerinden biriydi.^[28] Modern zamanların amatör matematikçileri, matematiksel olarak imkansız olmasına rağmen, bazen daireyi kareleştirme ve başarı iddiasında bulunmaya çalıştılar.^[29][30]

İrrasyonel bir sayı olarak π, bayağı kesir olarak gösterilemez. Ancak π dahil her sayı, sonsuza giden kesir adı verilen, sonsuz bir iç içe geçmiş kesirler serisi ile temsil edilebilir:

$${\displaystyle \pi =3+\textstyle {\cfrac {1}{7+\textstyle {\cfrac {1}{15+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{292+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}$$ 

Sürekli kesrin herhangi bir noktada kesilmesi, π için rasyonel bir yaklaşım verir; bunlardan ilk dördü {3, 22/7, 333/106 ve 355/113 tür. Bu sayılar, sabitin en iyi bilinen ve en çok kullanılan tarihsel yaklaşımları arasındadır. Bu şekilde üretilen her yaklaşım, en iyi rasyonel yaklaşımdır; yani, her biri aynı veya daha küçük paydaya sahip herhangi bir diğer kesirden π'ye daha yakındır.^[31] π aşkın olduğundan, tanım gereği cebirsel değildir ve bu nedenle ikinci dereceden irrasyonel olamaz. Bu nedenle, π bir periyodik sonsuza giden kesir içeremez. π için basit sonsuza giden kesir (yukarıda gösterilmiştir) başka herhangi bir bariz örüntü sergilemese de,^[32][33] birkaç genelleştirilmiş sonsuza giden kesir sergiler, örneğin:^[34]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &=3+\textstyle {\cfrac {1^{2}}{6+\textstyle {\cfrac {3^{2}}{6+\textstyle {\cfrac {5^{2}}{6+\textstyle {\cfrac {7^{2}}{6+\textstyle {\cfrac {9^{2}}{6+\ddots }}}}}}}}}}=\textstyle {\cfrac {4}{1+\textstyle {\cfrac {1^{2}}{2+\textstyle {\cfrac {3^{2}}{2+\textstyle {\cfrac {5^{2}}{2+\textstyle {\cfrac {7^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}}=\textstyle {\cfrac {4}{1+\textstyle {\cfrac {1^{2}}{3+\textstyle {\cfrac {2^{2}}{5+\textstyle {\cfrac {3^{2}}{7+\textstyle {\cfrac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}\end{aligned}}}$$ 

Bazı pi yaklaşımları şunları içerir:

• Tamsayılar: 3
• Kesirler: Yaklaşık kesirler şunları içerir (artan doğruluk sırasına göre) 22/7, 333/106, 355/113, 52163/16604, 103993/33102, 104348/33215, and 245850922/78256779.

^[31] (Liste,   A063674 ve   A063673'den seçilen terimlerdir.)

• Rakamlar: İlk 50 ondalık basamak 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510... şeklindedir. ^[35] (see   A000796)

Diğer sayı sistemlerindeki rakamlar

• İlk 48 2 tabanlı basamak (bit olarak adlandırılır) 11.001001000011111101101010100010001000010110100011... (  A004601'e bakınız) şeklindedir.
• On altılı sayı sistemi içindeki ilk 20 hane (16 tabanlı) 3.243F6A8885A308D31319...^[36] (  A062964'e bakınız) şeklindedir.
• İlk beş Altmışlık sayı sistemi (60 tabanlı) basamak 3;8,29,44,0,47 ^[37] şeklindedir. (see   A060707)
• Üçlü sayı sistemi içindeki ilk 38 basamak 10.0102110122220102110021111102212222201... şeklindedir. (  A004602'ye bakınız)

 

Herhangi bir karmaşık sayı, örneğin z, bir çift reel sayı kullanılarak ifade edilebilir. Kutupsal koordinat sisteminde, bir sayı (yarıçap veya r), z'nin karmaşık düzlemin sıfır noktasından olan mesafesini ve diğeri, (açı veya φ) pozitif reel eksenden, saat yönünün tersine dönüşü temsil etmek için kullanılır:^[38]

$${\displaystyle z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi ),}$$ 

burada i, i² = −1'i sağlayan hayali birimdir. Karmaşık analizde π'nin sık görülmesi, Euler formülüyle tanımlandığı gibi, karmaşık bir değişkenin üstel fonksiyonunun davranışıyla ilgili olabilir:^[39]

$${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi ,}$$ 

burada e sabiti, doğal logaritmanın tabanıdır. Bu formül,e'nin hayali üsleri ile, karmaşık düzlemin sıfır noktası merkezli birim çember üzerindeki noktalar arasında, bir karşılık olma ilişkisi kurar. Euler formülünde φ = π eşitliği, beş önemli matematiksel sabit içerdiği için matematikte önemsenen Euler özdeşliği ile sonuçlanır:^[39][40]

$${\displaystyle e^{i\pi }+1=0.}$$ 

zⁿ = 1 eşitliğini sağlayan n sayıda farklı karmaşık sayı vardır ve bunlara "birliğin n'inci kökleri" ^[41] denir ve aşağıdaki formülle verilir:

$${\displaystyle e^{2\pi ik/n}\qquad (k=0,1,2,\dots ,n-1).}$$ 

Milattan önceye tarihlenen π için en iyi bilinen yaklaşımlar, iki ondalık basamağa kadar doğruydu; bu, özellikle birinci bin yılın ortalarında, Çin matematiği'nde yedi ondalık basamak doğruluğuna kadar geliştirildi. Bundan sonra, geç Orta Çağ dönemine kadar daha fazla ilerleme kaydedilmedi.

π'nin en eski yazılı tahminleri, Babil ve Mısır'da bulunur, her ikisi de gerçek değerin yüzde biri dahilindedir. Babil'de, MÖ 1900-1600 tarihli bir kil tablet, ima yoluyla π'yi şu şekilde ele alan geometrik bir ifadeye sahiptir: 25/8=3.125.^[42] Mısır'da, MÖ 1650 dolaylarına tarihlenen ancak MÖ 1850 tarihli bir belgeden kopyalanan Rhind Papirüsü, π'yi (16/9)² ≈ 3.16. olarak ele alan bir dairenin alanı için bir formüle sahiptir.^[33][42] Flinders Petrie gibi bazı piramidologlar, Büyük Giza Piramidi'nin π ile ilgili oranlarla inşa edildiğini teorileştirmiş olsalar da, bu teori bilim adamları tarafından geniş çapta kabul görmemektedir.^[43] MÖ birinci veya ikinci binyıldan sözlü bir geleneğe tarihlenen Hint matematiği'nin Shulba Sutraları'nda, yaklaşık 3.08831, 3.08833, 3.004, 3 veya 3.125 olarak çeşitli şekillerde yorumlanan yaklaşık değerler verilmiştir.^[44]

 

 

π değerini titizlikle hesaplamak için kaydedilen ilk algoritma, Yunan matematikçi Arşimet tarafından MÖ 250 civarında tasarlanan çokgenleri kullanan geometrik bir yaklaşımdı.^[45] Bu çokgen algoritma 1.000 yılı aşkın bir süre hakim oldu ve sonuç olarak π bazen Arşimet sabiti olarak anılır.^[46] Arşimet, bir dairenin içine ve dışına düzgün bir altıgen çizerek ve 96 kenarlı bir düzgün çokgene ulaşana kadar kenar sayısını art arda ikiye katlayarak π'nin üst ve alt sınırlarını hesapladı. Bu poligonların çevresini hesaplayarak 223/71 < π < 22/7 (yani 3.1408 < π < 3.1429) olduğunu kanıtladı.^[47] Arşimet'in 22/7 üst sınırı, π'nin 22/7'ye eşit olduğuna dair yaygın bir popüler inanca yol açmış olabilir.^[48] MS 150 civarında, Yunan-Roma bilim adamı Batlamyus, Almagest'inde, Arşimet'ten veya Apollonios'tan almış olabileceği 3.1416'lık bir π değeri verdi.^[49][50] Çokgen algoritmaları kullanan matematikçiler 1630'da π'nin 39 basamağına ulaştılar, bu rekor yalnızca 1699'da sonsuz seriler kullanıldığında 71 basamağa ulaştığı zaman kırıldı.^[51]

Eski Çin'de, π değerleri 3,1547 (MS 1 civarında), √10 (MS 100, yaklaşık 3,1623) ve { {sfrac}}'i (3. yüzyıl, yaklaşık 3.1556) içeriyordu.^[52] MS 265 civarında, Wei Krallığı matematikçisi Liu Hui, çokgen tabanlı yinelemeli bir algoritma oluşturdu ve bunu 3.1416'lık bir π değeri elde etmek için 3.072 kenarlı bir çokgenle kullandı. MS 265 civarında, Wei Hanedanı matematikçisi Liu Hui bir çokgen tabanlı yinelemeli algoritma oluşturdu ve π'nin 3.1416 değerini elde etmek için bunu 3.072-kenarlı bir çokgenle kullandı.^[53][54] Liu daha sonra π'yi hesaplamak için daha hızlı bir yöntem icat etti ve ardışık çokgenlerin alanındaki farklılıkların 4 katsayılı bir geometrik seri oluşturmasından yararlanarak 96 kenarlı bir çokgenle 3.14 değerini elde etti.^[53] Çinli matematikçi Zu Chongzhi, MS 480 civarında, 3.1415926 < π < 3.1415927 olduğunu hesapladı ve 12.288 kenarlı bir çokgene uygulanan Liu Hui'nin algoritması kullanarak π ≈ 355/113 = 3,14159292035... ve π ≈ 22/7 = 3.142857142857..., yaklaşımlarını önerdi. Bunları sırasıyla Milü (''yakın oran") ve Yuelü ("yaklaşık oran") olarak adlandırdı. İlk yedi ondalık basamağı için doğru bir değerle, bu değer, sonraki 800 yıl boyunca mevcut olan en doğru π yaklaşımı olarak kaldı.^[55]

Hint astronom Aryabhata Āryabhaṭīya (MS 499) adlı eserinde 3.1416 değerini kullanmıştır.^[56] MÖ 1220'de Fibonacci, Arşimet'ten bağımsız olarak çokgen bir yöntem kullanarak 3.1418'i hesapladı.^[57] İtalyan yazar Dante görünüşe göre 3+√2/10 ≈ 3.14142 değerini kullandı.^[57]

İranlı astronom Jamshīd al-Kāshī 1424'te 3×2²⁸ kenarlı bir çokgen kullanarak kabaca 16 ondalık basamağa eşdeğer olan 9 altmışlık basamak üretti ve bu değer yaklaşık 180 yıl dünya rekoru olarak kaldı.^[58][59][60] 1579'da Fransız matematikçi François Viète, 3×2¹⁷ kenarlı bir çokgenle 9 basamak elde etti.^[60] Flaman matematikçi Adriaan van Roomen 1593'te 15 ondalık basamağa ulaştı.^[60] 1596'da Hollandalı matematikçi Ludolph van Ceulen 20 haneye ulaştı, daha sonra bu rekoru 35 haneye çıkardı (sonuç olarak π, 20. yüzyılın başlarına kadar Almanya'da "Ludolphian sayısı" olarak adlandırılıyordu).^[61] Hollandalı bilim adamı Willebrord Snellius 1621'de 34 haneye ulaştı,^[62] ve Avusturyalı gök bilimci Christoph Grienberger, 10⁴⁰ kenar kullanarak 1630'da 38 haneye ulaştı..^[63] Christiaan Huygens was able to arrive at 10 decimal places in 1654 using a slightly different method equivalent to Richardson extrapolation.^[64][65]

π hesaplamasında, 16. ve 17. yüzyıllarda sonsuz seriler tekniklerinin geliştirilmesiyle devrim yaratıldı. Sonsuz bir seri, sonsuz bir dizi terimlerinin toplamıdır. Sonsuz seriler, matematikçilerin π'yi Arşimet ve geometrik teknikler kullanan diğerlerinden çok daha yüksek bir hassasiyetle hesaplamasına izin verdi.^[66] Sonsuz seriler π için James Gregory ve Gottfried Wilhelm Leibniz gibi Avrupalı matematikçiler tarafından kullanılmasına rağmen, yaklaşım 14. veya 15. yüzyılda bir zaman Kerala astronomi ve matematik okulunda ortaya çıktı.^[67][68] MS 1500 civarında, Nilakantha Somayaji tarafından Tantrasamgraha'daki Sanskrit ayette π'yi hesaplamak için kullanılabilecek sonsuz bir dizinin yazılı bir açıklaması ortaya kondu.^[67] Seriler kanıt olmadan sunulur, ancak kanıtlar MS 1530 civarında daha sonraki bir çalışma olan Yuktibhāṣā da sunulur. Sinüs (Nilakantha'nın Madhava'ya atfettiği), kosinüs ve artık bazen Madhava serisi olarak anılan arktanjant serileri dahil olmak üzere birkaç sonsuz seri açıklanmıştır. Arktanjant serisine bazen Gregory serisi veya Gregory-Leibniz serisi denir.^[67] Madhava, π'yi 1400 yılı civarında 11 haneye kadar tahmin etmek için sonsuz seriler kullandı.^[69]

1593'te François Viète, şimdi Viète'nin formülü olarak bilinen, sonsuz bir çarpım olan (daha tipik olarak π hesaplamalarında kullanılan sonsuz bir toplam yerine) aşağıdaki formülü yayınladı:^[70][71][72]

$${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots }$$ 

1655'te John Wallis, aynı şekilde sonsuz bir çarpım olan, şimdi Wallis çarpımı olarak bilinen aşağıdaki formülü yayınladı:

$${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\Big (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}{\Big )}\cdots }$$ 

 

1660'larda İngiliz bilim adamı Isaac Newton ve Alman matematikçi Gottfried Wilhelm Leibniz, π'ye yaklaşmak için birçok sonsuz serinin geliştirilmesine yol açan kalkülüs'ü keşfetti. Newton'un kendisi, 1665 veya 1666'da π'nin 15 basamaklı bir yaklaşımını hesaplamak için bir arksinüs serisi kullandı, daha sonra bununla ilgili olarak "O zamanlar başka bir işim olmadığı için, bu hesaplamaları kaç rakama kadar yaptığımı size söylemeye utanıyorum" yazdı.^[73]

1671'de James Gregory bağımsız olarak, 1673'te Leibniz'te, arktanjant için Taylor serisi genişletmesini keşfetti:

$${\displaystyle \arctan z=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots }$$ 

Bazen Gregory–Leibniz serisi olarak adlandırılan bu dizi, z = 1 ile değerlendirildiğinde π/4'e eşittir.^[74] Ancak z = 1 için pratik olmayacak şekilde yavaş yakınsar (yani, cevaba çok yavaş yaklaşır) ve her ek basamağı hesaplamak için yaklaşık on kat daha fazla terim gerekir.^[75]

1699'da İngiliz matematikçi Abraham Sharp, π'yi 71 haneye kadar hesaplamak için ${\textstyle z={\frac {1}{\sqrt {3}}}}$  eşitliği ile Gregory–Leibniz serisini kullandı ve çokgen bir algoritma ile belirlenen 39 haneli önceki rekoru kırdı.^[76]

1706'da John Machin, çok daha hızlı yakınsayan bir algoritma üretmek için Gregory-Leibniz serisini kullandı:^[4][77][78]

$${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}.}$$ 

Machin bu formülle π'nin 100 basamağına ulaştı.^[79] Diğer matematikçiler, π basamaklarını hesaplamada birkaç ardışık rekor için kullanılan, şimdi Machin benzeri formül olarak bilinen varyantlar yarattı.^[79][80]

Isaac Newton, 1684'te Gregory-Leibniz serisinin yakınsamasını hızlandırdı (yayınlanmamış bir çalışmada; diğerleri sonucu bağımsız olarak keşfetti).^[81]

${\displaystyle \arctan x={\frac {x}{1+x^{2}}}+{\frac {2}{3}}{\frac {x^{3}}{(1+x^{2})^{2}}}+{\frac {2\cdot 4}{3\cdot 5}}{\frac {x^{5}}{(1+x^{2})^{3}}}+\cdots }$ 

Leonhard Euler bu seriyi 1755 diferansiyel hesabı ders kitabında popüler hale getirdi ve daha sonra bunu Machin benzeri formüllerle kullandı, örneğin ${\textstyle {\tfrac {\pi }{4}}=5\arctan {\tfrac {1}{7}}+2\arctan {\tfrac {3}{77}},}$  ile bir saatte π'nin 20 basamağını hesapladı.^[82]

Machin benzeri formüller, bilgisayar çağına kadar π'yi hesaplamak için en iyi bilinen yöntem olarak kaldı ve 250 yıl boyunca rekorlar kırmak için kullanıldı ve 1946'da Daniel Ferguson tarafından 620 basamaklı bir yaklaşımla sonuçlandı. (bir hesaplama cihazının yardımı olmadan elde edilen en iyi yaklaşım).^[83]

1844'te, Alman matematikçi Carl Friedrich Gauss'un kontrolünde kafasında π'nin 200 ondalığını hesaplamak için bir Machin benzeri formül kullanan Zacharias Dase tarafından bir rekor kırıldı.^[84]

1853'te İngiliz matematikçi William Shanks, π'yi 607 basamak olarak hesapladı, ancak 528. basamakta bir hata yaparak sonraki tüm basamakların yanlış olmasına yol açtı. 1873'te ek 100 basamak hesaplayarak toplamı 707'ye çıkarsa da, önceki hatası tüm yeni basamakların da yanlış hesaplanmasına yol açtı.^[85]

π için bazı sonsuz seriler diğerlerinden daha hızlı yakınsar. Given the choice of two infinite series for π, mathematicians will generally use the one that converges more rapidly because faster convergence reduces the amount of computation needed to calculate π to any given accuracy.^[86] π için basit bir sonsuz seri Gregory–Leibniz serisidir:^[87]

$${\displaystyle \pi ={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}-\cdots }$$ 

Bu sonsuz dizinin tek tek terimleri toplama eklendikçe, toplam kademeli olarak π'ye yaklaşır ve istenildiği kadar π'ye yaklaşabilir (yeterli sayıda terim ile). Yine de oldukça yavaş yakınsar - 500.000 terimden sonra, π'nin yalnızca beş doğru ondalık basamağını üretir.^[88]

π için (15. yüzyılda Nilakantha tarafından yayınlanan) Gregory-Leibniz serisinden daha hızlı yakınsayan sonsuz bir seri:^[89][90]

$${\displaystyle \pi =3+{\frac {4}{2\times 3\times 4}}-{\frac {4}{4\times 5\times 6}}+{\frac {4}{6\times 7\times 8}}-{\frac {4}{8\times 9\times 10}}+\cdots }$$ 

Aşağıdaki tablo, bu iki serinin yakınsama oranlarını karşılaştırmaktadır:

π için sonsuz seriler	1. terimden sonra	2. terimden sonra	3. terimden sonra	4. terimden sonra	5. terimden sonra	yakınsar:
${\displaystyle \pi ={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}+\cdots }$	4.0000	2.6666 ...	3.4666 ...	2.8952 ...	3.3396 ...	π = 3.1415 ...
${\displaystyle \pi ={3}+{\frac {4}{2\times 3\times 4}}-{\frac {4}{4\times 5\times 6}}+{\frac {4}{6\times 7\times 8}}-\cdots }$	3.0000	3.1666 ...	3.1333 ...	3.1452 ...	3.1396 ...

Beş terimden sonra, Gregory-Leibniz serisinin toplamı, π'nin doğru değerinin 0,2'si içindeyken, Nilakantha'nın serisinin toplamı doğru değerinin 0,002'si içindedir. Nilakantha'nın serisi daha hızlı yakınsar ve π'nin basamaklarını hesaplamak için daha kullanışlıdır. Daha da hızlı yakınsayan seriler arasında Machin'in serisi ve Chudnovsky'nin serisi yer alır, ikincisi terim başına 14 doğru ondalık basamak üretir.

π ile ilgili tüm matematiksel gelişmeler, tahminlerin doğruluğunu artırmayı amaçlamadı. Euler 1735'te Basel problemini ters karelerin toplamının tam değerini bularak çözdüğünde, π ile asal sayılar arasında bir bağlantı kurdu ve bu daha sonra Riemann zeta işlevi çalışmasını geliştirmeye katkıda bulundu.^[91]

$${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots }$$ 

İsviçreli bilim adamı Johann Heinrich Lambert 1768'de π'nin irrasyonel olduğunu, yani herhangi iki tam sayının bölümüne eşit olmadığını kanıtladı.^[21] Lambert'in ispatı, tanjant fonksiyonunun sürekli kesir temsilinden yararlandı.^[92] Fransız matematikçi Adrien-Marie Legendre, 1794'te π²'nin de irrasyonel olduğunu kanıtladı. 1882'de Alman matematikçi Ferdinand von Lindemann, π'nin aşkın olduğunu kanıtladı ^[93] ve hem Legendre hem de Euler tarafından yapılan bir varsayımı doğruladı.^[94][95] Hardy ve Wright, "kanıtların daha sonra Hilbert, Hurwitz ve diğer yazarlar tarafından değiştirilip basitleştirildiğini" belirtir.^[96]

 

Bir çemberin çevresinin çapına oranını temsil etmek için Yunanca π harfinin bilinen en eski kullanımı, 1706'da Galli matematikçi William Jones tarafından yapılmıştır.

 

Leonhard Euler, 1736 ve 1748'de yayınladığı eserlerde Yunanca π harfinin kullanımını yaygınlaştırdı.

İlk kullanımlarda, Yunan harfi π, bir dairenin yarıçevresini (Latince'de semiperipheria) ifade etmek için kullanılmıştır.^[9] ve daire sabitlerini oluşturmak için δ (çap veya yarı çap için) veya ρ (yarıçap için) ile oranlarda birleştirildi.^{[97][98][99][100]} (O zamandan önce, matematikçiler bunun yerine bazen c veya p gibi harfleri kullanıyorlardı.^[101]) Kaydedilen ilk kullanım Oughtred's "${\displaystyle \delta .\pi }$ " şeklindedir ve Latince: Clavis Mathematicae'nin 1647 ve sonraki baskılarında çevre ve çap oranını ifade etmek için kullanmıştır.^{[102][101][103]} Barrow 3.14... sabitini temsil etmek için aynı şekilde "${\textstyle {\frac {\pi }{\delta }}}$ " kullandı. Gregory bunun yerine "${\textstyle {\frac {\pi }{\rho }}}$ "'yi 6.28...'i temsil etmek için kullandı.^[99][104]

Bir çemberin çevresinin çapına oranını temsil etmek için tek başına Yunanca π harfinin bilinen en eski kullanımı Galli matematikçi William Jones'un 1706 tarihli Latince: Synopsis Palmariorum Matheseos adlı çalışmasında yapılmıştır; veya Matematiğe Yeni Bir Giriş."^[4][105] Yunan harfi s. 243 te, "Çevre (π), yarıçapı 1 olan bir daire için hesaplanmıştır." ifadesinde kullanılmıştır. Ancak Jones, π için denklemlerinin "gerçekten dahiyane Bay John Machin'in hazır kaleminden" olduğunu yazar ve bu da Machin'in Jones'tan önce Yunanca harfi kullanmış olabileceği yönünde spekülasyonlara yol açar.^[101] Jones'un gösterimi diğer matematikçiler tarafından hemen benimsenmedi, kesir gösterimi 1767'ye kadar hâlâ kullanılıyordu.^[97][106]

Euler, 1727 tarihli Havanın Özelliklerini Açıklayan Deneme ile başlayarak tek harfli formu kullanmaya başladı, ancak, bu ve sonraki bazı yazılarda çevrenin yarıçapa oranı olan π = 6.28... kullanmıştı.^[107][108] Euler π = 3.14...'ü ilk olarak 1736 tarihli Mechanica adlı çalışmasında kullandı ve geniş çapta okunan 1748 tarihli Latince: Introductio in analysin infinitorum adlı çalışmasında devam etti (şöyle yazdı: "Kısa olması adına bu sayıyı π olarak yazacağız; böylece π şuna eşittir: yarıçapı 1 olan bir dairenin çevresinin yarısı").^[109][110] Euler, Avrupa'daki diğer matematikçilerle yoğun bir şekilde yazıştığı için, Yunan harfinin kullanımı hızla yayıldı ve uygulama bundan sonra Batı dünyasında evrensel olarak benimsendi, ancak tanım 1761 gibi geç bir tarihe kadar hâlâ 3.14... ve 6.28... arasında değişiyordu.^[111]

Gauss–Legendre yinelemeli algoritması:
Başlat

$${\displaystyle \textstyle a_{0}=1,\quad b_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}},\quad t_{0}={\frac {1}{4}},\quad p_{0}=1.}$$  Yinele $${\displaystyle \textstyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},\quad \quad b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}},}$$  $${\displaystyle \textstyle t_{n+1}=t_{n}-p_{n}(a_{n}-a_{n+1})^{2},\quad \quad p_{n+1}=2p_{n}.}$$  Ardından, π için bir tahmin şu şekilde verilir:

$${\displaystyle \textstyle \pi \approx {\frac {(a_{n}+b_{n})^{2}}{4t_{n}}}.}$$ 

20. yüzyılın ortalarında bilgisayarların gelişimi, π rakamlarının aranmasında yeniden devrim yarattı. Matematikçiler John Wrench ve Levi Smith, 1949'da bir masa hesap makinesi kullanarak 1.120 haneye ulaştı.^[112] George Reitwiesner ve John von Neumann liderliğindeki bir ekip ters teğet (arctan) sonsuz serisini kullanarak aynı yıl ENIAC bilgisayar üzerinde 70 saatlik bilgisayar çalışması gerektiren bir hesaplamayla 2.037 basamak elde etti.^[113][114] Her zaman bir arctan serisine dayanan rekor, 1973'te 1 milyon haneye ulaşılana kadar art arda kırıldı (1957'de 7.480 hane; 1958'de 10.000 hane; 1961'de 100.000 hane).^[113]

1980 civarında iki ek gelişme, π'yi hesaplama yeteneğini bir kez daha hızlandırdı. Birincisi, sonsuz serilerden çok daha hızlı olan π hesaplaması için yeni yinelemeli algoritmaların keşfi; ve ikincisi, büyük sayıları çok hızlı bir şekilde çarpabilen hızlı çarpma algoritmalarının icadı.

Birincisi, π hesaplaması için sonsuz serilerden çok daha hızlı olan yeni iteratif algoritmaların keşfi; ve ikincisi, büyük sayıları çok hızlı bir şekilde çarpabilen hızlı çarpma algoritmaları'nın icadı.^[115] Bu tür algoritmalar modern π hesaplamalarında özellikle önemlidir çünkü bilgisayarın zamanının çoğu çarpmaya ayrılmıştır.^[116] Bunlar arasında Karatsuba algoritması, Toom-Cook çarpması ve Fourier dönüşümü tabanlı yöntemler bulunur.^[117]

Yinelemeli algoritmalar, 1975-1976'da fizikçi Eugene Salamin ve bilim adamı Richard Brent tarafından bağımsız olarak yayınlandı.^[118] Bunlar sonsuz serilere güvenmekten kaçınır. Yinelemeli bir algoritma, her yinelemede önceki adımların çıktılarını girdi olarak kullanarak belirli bir hesaplamayı tekrarlar ve her adımda istenen değere yaklaşan bir sonuç üretir. Yaklaşım aslında 160 yılı aşkın bir süre önce Carl Friedrich Gauss tarafından şu anda aritmetik-geometrik ortalama yöntemi (AGM yöntemi) veya Gauss–Legendre algoritması olarak adlandırılan yöntemle icat edildi.^[118] Salamin ve Brent tarafından değiştirildiği şekliyle, Brent-Salamin algoritması olarak da anılır.

Yinelemeli algoritmalar, sonsuz dizi algoritmalarından daha hızlı oldukları için 1980'den sonra yaygın olarak kullanıldı: sonsuz diziler tipik olarak birbirini izleyen terimlerde doğru basamak sayısını artırırken, yinelemeli algoritmalar genellikle her adımda doğru basamak sayısını "çarpar". Örneğin, Brent-Salamin algoritması, her yinelemede basamak sayısını ikiye katlar.

1984'te John ve Peter Borwein kardeşler, her adımdaki basamak sayısını dört katına çıkaran yinelemeli bir algoritma ürettiler; ve 1987'de, her adımda basamak sayısını beş kat artıran bir algoritma.^[119] Yinelemeli yöntemler, Japon matematikçi Yasumasa Kanada tarafından 1995 ve 2002 yılları arasında π hesaplaması için çeşitli rekorlar kırmak için kullanıldı.^[120] Bu hızlı yakınsamanın bir bedeli var: yinelemeli algoritmalar, sonsuz serilerden önemli ölçüde daha fazla bellek gerektirir.^[120]

 

π içeren çoğu sayısal hesaplama için, bir avuç rakam yeterli kesinlik sağlar. Jörg Arndt ve Christoph Haenel'e göre, çoğu kozmolojik hesaplamayı yapmak için otuz dokuz basamak yeterlidir, çünkü gözlemlenebilir evrenin çevresini bir atom hassasiyetiyle hesaplamak için gereken doğruluk budur. Hesaplamalı yuvarlama hatalarını telafi etmek için gereken ek basamakları hesaba katan Arndt, herhangi bir bilimsel uygulama için birkaç yüz basamağın yeterli olacağı sonucuna varır. Buna rağmen, insanlar π'yi binlerce ve milyonlarca basamaklı olarak hesaplamak için yoğun bir şekilde çalıştılar.^[121] Bu çaba kısmen insanların rekor kırma dürtüsüne atfedilebilir ve π ile elde edilen bu tür başarılar genellikle dünya çapında manşetlere konu olur.^[122][123] Süper bilgisayarları test etme, sayısal analiz algoritmalarını test etme (yüksek hassasiyetli çarpma algoritmaları dahil); ve saf matematiğin kendisinde, π'nin rakamlarının rastgeleliğini değerlendirmek için veri sağlar.^[124]

 

Modern π hesap makineleri, yalnızca yinelemeli algoritmalar kullanmaz. 1980'lerde ve 1990'larda yinelemeli algoritmalar kadar hızlı ancak daha basit ve daha az bellek kullanan yeni sonsuz seriler keşfedildi.^[120] Hızlı yinelemeli algoritmalar, 1914'te Hint matematikçi Srinivasa Ramanujan π için zarafetleri, matematiksel derinlikleri ve hızlı yakınsamalarıyla dikkat çeken düzinelerce yenilikçi yeni formül yayınladığında öngörülmüştü.^[125]Modüler denklemlere dayanan formüllerinden biri,

$${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{k!^{4}\left(396^{4k}\right)}}.}$$ 

Bu seri, Machin'in formülü de dahil olmak üzere çoğu arctan serisinden çok daha hızlı yakınsar.^[126] Bill Gosper, 1985'te 17 milyon basamaklı bir rekor kırarak π hesaplamasındaki ilerlemeler için bunu ilk kullanan kişiydi.^[127] Ramanujan'ın formülleri, Borwein kardeşler (Jonathan ve Peter) ve Chudnovsky kardeşler tarafından geliştirilen modern algoritmaları öngörüyordu.^[128] 1987'de geliştirilen Chudnovsky formülü,

$${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {\sqrt {10005}}{4270934400}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!\,k!^{3}(-640320)^{3k}}}.}$$ 

Terim başına yaklaşık 14 basamak π üretir ve birkaç kayıt ayarı π hesaplaması için kullanılmıştır. Bunlar arasında 1989'da Chudnovsky kardeşler tarafından 1 milyar (10⁹) haneyi aşan ilk rakamlar, 2011'de Alexander Yee ve Shigeru Kondo tarafından 10 trilyon (10¹³) hane ve 2022'de Emma Haruka Iwao tarafından 100 trilyon hane yer alıyor.^{[129][130][131]} Benzer formüller için ayrıca bkz. Ramanujan–Sato serisi

2006'da matematikçi Simon Plouffe, aşağıdaki şablona uygun olarak π için birkaç yeni formül oluşturmak için tamsayı ilişki algoritması PSLQ'yu kullandı:

$${\displaystyle \pi ^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}\left({\frac {a}{q^{n}-1}}+{\frac {b}{q^{2n}-1}}+{\frac {c}{q^{4n}-1}}\right),}$$ 

burada q eşittir e^π (Gelfond sabiti), k tek sayıdır ve a, b, c Plouffe'un hesapladığı belirli rasyonel sayılardır.^[132]

 

Buffon'un iğnesi. a ve b iğneleri rastgele bırakılıyor.

 

Rastgele noktalar, içinde bir daire bulunan bir kareye yerleştirilir.

Birden fazla rastgele denemenin sonuçlarını değerlendiren Monte Carlo yöntemleri, π'nin yaklaşık değerlerini oluşturmak için kullanılabilir.^[133] Buffon'un iğnesi böyle bir tekniktir: ℓ uzunluğundaki bir iğne, t birim aralıklarla paralel çizgilerin çizildiği bir yüzey üzerine n kez düşürülürse ve bu seferlerin x tanesi bir çizgiyi geçerek durursa (x > 0), o zaman sayımlara göre π yaklaşık olarak hesaplanabilir:

$${\displaystyle \pi \approx {\frac {2n\ell }{xt}}.}$$ 

π'yi hesaplamak için başka bir Monte Carlo yöntemi, kare içine çizilmiş bir daire çizmek ve kareye rastgele noktalar yerleştirmektir. Daire içindeki noktaların toplam nokta sayısına oranı yaklaşık olarak π/4 olacaktır.^[134]

 

Olasılığı kullanarak π'yi hesaplamanın başka bir yolu, bir dizi (adil) yazı tura atmasıyla oluşturulan rastgele bir yürüyüşle başlamaktır: eşit olasılıklarla X_k ∈ Şablon:Mset olacak şekilde bağımsız rassal değişkenler X_k. İlişkili rastgele yürüyüş

$${\displaystyle W_{n}=\sum _{k=1}^{n}X_{k}}$$ 

böylece her n için, W_n, kaydırılmış ve ölçeklendirilmiş bir binom dağılımı'ndan çizilir. n değiştikçe, W_n (ayrık) bir stokastik süreci tanımlar. O zaman π şu şekilde hesaplanabilir:^[135]

$${\displaystyle \pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {2n}{E[|W_{n}|]^{2}}}.}$$ 

Bu Monte Carlo yöntemi, çemberlerle herhangi bir ilişkiden bağımsızdır ve aşağıda tartışılan merkezî limit teoremi'nin bir sonucudur.

π'ye yaklaşmak için bu Monte Carlo yöntemleri, diğer yöntemlere kıyasla çok yavaştır ve elde edilen tam basamak sayısı hakkında herhangi bir bilgi sağlamaz. Bu nedenle, hız veya doğruluk istendiğinde asla π'ye yaklaşmak için kullanılmazlar.^[136]

1995'te π'ye yeni araştırma yolları açan iki algoritma keşfedildi. Musluktan damlayan su gibi, hesaplandıktan sonra tekrar kullanılmayan π'nin tek basamaklarını ürettikleri için musluk algoritmaları olarak adlandırılırlar.^[137][138] Bu, nihai sonuç üretilene kadar tüm ara basamakları tutan ve kullanan sonsuz seri veya yinelemeli algoritmaların tersidir.^[137]

Matematikçiler Stan Wagon ve Stanley Rabinowitz 1995'te basit bir musluk algoritması ürettiler.^{[138][139][140]} Hızı, arctan algoritmalarıyla karşılaştırılabilir, ancak yinelemeli algoritmalar kadar hızlı değildir.^[139]

Başka bir musluk algoritması olan BBP rakam çıkarma algoritması, 1995 yılında Simon Plouffe tarafından keşfedildi:

$${\displaystyle \pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right).}$$ 

Bu formül, kendisinden önceki diğerlerinin aksine, önceki tüm basamakları hesaplamadan π'nin herhangi bir onaltılık basamağını üretebilir.^[141] Bireysel ikili basamaklar, bireysel onaltılık basamaklardan çıkarılabilir ve sekizlik basamaklar, bir veya iki onaltılık basamaktan çıkarılabilir. Algoritmanın varyasyonları keşfedildi, ancak ondalık basamakları hızla üreten hiçbir basamak çıkarma algoritması henüz bulunamadı.^[142] Rakam çıkarma algoritmalarının önemli bir uygulaması, kayıt π hesaplamalarının yeni iddialarını doğrulamaktır: Yeni bir kayıt talep edildikten sonra, ondalık sonuç onaltılığa dönüştürülür ve ardından sona yakın birkaç rastgele onaltılık basamağı hesaplamak için bir basamak çıkarma algoritması kullanılır; eşleşirlerse, bu, tüm hesaplamanın doğru olduğuna dair bir güven ölçüsü sağlar.^[130]

1998 ve 2000 yılları arasında, dağıtılmış bilgi işlem projesi PiHex, 0 olduğu ortaya çıkan π'nin katrilyonuncu (10¹⁵th) bitini hesaplamak için Bellard'ın formülünü (BBP algoritmasının bir modifikasyonu) kullandı.^[143] Eylül 2010'da bir Yahoo! çalışanı şirketin Hadoop uygulamasını 23 günlük bir süre boyunca bin bilgisayarda iki katrilyonuncu (2×10¹⁵th) bitte 256 bit π'yi hesaplamak için kullandı ki bu yine sıfırdır.^[144]

π daire ile yakından ilişkili olduğu için geometri ve trigonometri alanlarındaki birçok formülde, özellikle daireler, küreler veya elipslerle ilgili olanlarda bulunur. İstatistik, fizik, Fourier analizi ve sayı teorisi gibi diğer bilim dalları da bazı önemli formüllerinde π'yi içerir.

 

π, elips, küre, koni ve simit (geometri) gibi dairelere dayalı geometrik şekillerin alan ve hacim formüllerinde görünür. π içeren daha yaygın formüllerden bazıları aşağıdadır.^[145]

• Yarıçapı r olan bir çemberin çevresi 2πr'dir.
• Yarıçapı r olan dairenin alanı πr²'dir.
• Yarı büyük ekseni a ve yarı küçük ekseni b olan bir elipsin alanı πab'dır.
• Yarıçapı r olan bir kürenin hacmi 4/3πr³'dir.
• Yarıçapı r olan bir kürenin yüzey alanı 4πr²'dir.

Yukarıdaki formüllerden bazıları, aşağıda verilen n-boyutlu topun hacminin ve onun sınırı olan (n-1)-boyutlu kürenin yüzey alanının özel durumlarıdır.

Dairelerin dışında, sabit genişlikte başka eğriler de vardır. Barbier teoremine göre, sabit genişliğe sahip her eğrinin çevresi, genişliğinin π katıdır. Reuleaux üçgeni (üç dairenin yarıçapları olarak bir eşkenar üçgenin kenarlarıyla kesişmesinden oluşur) genişliği için mümkün olan en küçük alana ve daire en büyüğüne sahiptir. Dairesel olmayan pürüzsüz ve hatta sabit genişlikte cebirsel eğriler de vardır.^[146]

Daireler tarafından oluşturulan şekillerin çevresini, alanını veya hacmini tanımlayan Belirli integraller, tipik olarak π içeren değerlere sahiptir. Örneğin, 1 yarıçaplı bir çemberin alanının yarısını belirten bir integral şu şekilde verilir:^[147]

$${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.}$$ 

Bu integralde, √1 − x² işlevi bir yarım dairenin ${\displaystyle x}$  ekseni üzerindeki yüksekliği temsil eder (karekök, Pisagor teoreminin bir sonucudur) ve integral, yarım daire'nin altındaki alanı hesaplar.

 

Trigonometrik fonksiyonlar açılara dayanır ve matematikçiler genellikle ölçüm birimi olarak radyan kullanır. π, tam bir daire 2π radyanlık bir açıyı kaplayacak şekilde tanımlanan radyan cinsinden ölçülen açılarda önemli bir rol oynar. 180°'nin açı ölçüsü π radyan ve 1° = π/180 radyan'a eşittir.^[148]

Yaygın trigonometrik fonksiyonlar, π'nin katları olan periyotlara sahiptir; örneğin, sinüs ve kosinüsün periyodu 2π'dir, dolayısıyla herhangi bir θ açısı ve herhangi bir k tam sayısı için,

$${\displaystyle \sin \theta =\sin \left(\theta +2\pi k\right){\text{ and }}\cos \theta =\cos \left(\theta +2\pi k\right).}$$ 

Pi sayısının bazı yaklaşık değerleri şu şekildedir:

• Bölümler: 22/7, 333/106, 355/113, 52163/16604, 103993/33102 ve 245850922/78256779.*^[149]
• Onlu sayı sistemi : İlk yüz basamak; 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 ....^[150]
• İkili sayı sistemi: 11.001001000011111101101010100010001000010110100011 ....
• Üçlü sayı sistemi: 10.010211012222010211002111110221222220111201212121 ....
• On altılı sayı sistemi:3.243F6A8885A308D31319 ....^[151]
• Altmışlı sayı sistemi: 3;8,29,44,1

Pi (π) formüllerinden başlıcaları şunlardır:^{[kaynak belirtilmeli]}

Nilakantha Somayaji:

${\displaystyle \pi ={3}+{\frac {4}{{3^{3}}-3}}-{\frac {4}{{5^{3}}-5}}+{\frac {4}{{7^{3}}-7}}-{\frac {4}{{9^{3}}-9}}+...}$ 

${\displaystyle \pi ={3}+{\frac {4}{2\times 3\times 4}}-{\frac {4}{4\times 5\times 6}}+{\frac {4}{6\times 7\times 8}}-{\frac {4}{8\times 9\times 10}}+...}$ 

Franciscus Vieta:

${\displaystyle \pi =2\times {\frac {2}{\sqrt {2}}}\times {\frac {2}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}\times {\frac {2}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}\times {\frac {2}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}}\times \cdots }$ 

Gregory–Leibniz:

${\displaystyle \pi =4\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {(-1)^{n}}{2n+1}}=4\left({\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+-\cdots \right)\!={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}\!}$ 

^[152]Isaac Newton:

${\displaystyle \pi =\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {{2^{n+1}}\cdot {(n!)^{2}}}{(2n+1)!}}}$ 

Leonhard Euler:

${\displaystyle \pi =-i\ln(-1)}$ 

Bailey-Borwein-Plouffe:

${\displaystyle \pi =\sum _{n=0}^{\infty }{\biggl (}{\frac {1}{16}}{\biggr )}^{n}\left({\frac {4}{8n+1}}-{\frac {2}{8n+4}}-{\frac {1}{8n+5}}-{\frac {1}{8n+6}}\right)}$ 

^[153]Fabrice Bellard:

${\displaystyle \pi =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{6}}}{\biggl (}{\frac {-1}{2^{10}}}{\biggr )}^{n}\left(-{\frac {2^{5}}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}+{\frac {2^{8}}{10n+1}}-{\frac {2^{6}}{10n+3}}-{\frac {2^{2}}{10n+5}}-{\frac {2^{2}}{10n+7}}+{\frac {1}{10n+9}}\right)\!}$ 

Adamchik-Wagon:

${\displaystyle \pi =\sum _{n=0}^{\infty }{\biggl (}{\frac {-1}{4}}{\biggr )}^{n}\left({\frac {2}{4n+1}}+{\frac {2}{4n+2}}+{\frac {1}{4n+3}}\right)}$ 

• Geometri
• Pi Günü

• Pi Çılgınlığı 18 Mayıs 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (Türkçe)
• Pi-Different (İngilizce)
• Project Gutenberg'de π'nin detaylı değeri 1 Temmuz 2004 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (İngilizce)
• Pi formülleri ve online pi hesabı 26 Mayıs 2011 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (İngilizce)