Normlu vektör uzayı

Bir ${\displaystyle \mathbb {K} }$  cismi (${\displaystyle \mathbb {R} }$  ya da ${\displaystyle \mathbb {C} }$  olabilir) üzerinden tanımlanmış bir ${\displaystyle V}$  vektör uzayı üzerinde tanımlanmış gerçel değerler alan bir ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert :V\to \mathbb {R} }$  fonksiyonuna aşağıdaki özellikleri sağladığı takdirde norm adı verilir:

1. Negatif olmamalık özelliği: Her ${\displaystyle x\in V}$  için, ${\displaystyle \;\lVert x\rVert \geq 0}$ .
2. Kesin pozitiflik özelliği: Bir ${\displaystyle x\in V}$  için ${\displaystyle \;\lVert x\rVert =0}$  ise, bu ancak ve ancak ${\displaystyle x}$  sıfır vektörüyse olabilir.
3. Mutlak homojenlik özelliği: ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} }$  ve ${\displaystyle x\in V}$  ise, $${\displaystyle \lVert \lambda x\rVert =|\lambda |\,\lVert x\rVert }$$ 
4. Üçgen eşitsizliği: Her ${\displaystyle x,y\in V}$  için, $${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.}$$ 

O zaman, ${\displaystyle V}$  vektör uzayı ve bu uzay üzerinde tanımlanmış bir norm fonksiyonu çiftine normlu vektör uzayı denir ve ${\displaystyle (V,\lVert \cdot \rVert )}$  ile gösterilir. Sadece bir tane vektör uzayından bahsediliyorsa veya norma vurgu yapmaya gerek yoksa, ${\displaystyle (V,\|\cdot \|)}$  yerine sadece ${\displaystyle V}$  normlu vektör uzayıdır biçiminde kullanım da mevcuttur ve bu uzay sadece ${\displaystyle V}$  ile gösterilir.

Norm fonksiyonu üzerinden ${\displaystyle d(x,y):=\|y-x\|}$  biçiminde tanımlanan bir fonksiyon bir metrik olur. Bu metriğe, norm tarafından doğurulmuş metrik denir. Bu metrik sayesinde, her normlu vektör uzayı aynı zamanda bir metrik uzayıdır ve yine bu yüzden topolojik vektör uzayıdır. Eğer bu metrik uzay üstelik tamsa, o zaman bu normlu uzaya Banach uzayı adı verilir. Her Banach uzayı normlu bir uzaydır; ancak, nun tersi doğru değildir. Yine de, normlu vektör uzayları bir Banach uzayına genişletilebilir. Bu Banach uzayı ise biriciktir.