Abel teoremi

Yakınsaklık yarıçapı ${\displaystyle 1}$  olan ve katsayıları gerçel sayı olan bir Taylor serisini ele alalım: $${\displaystyle G(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.}$$  Eğer ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$  serisi yakınsaksa, o zaman, ${\displaystyle G(x)}$  fonksiyonu ${\displaystyle x=1}$  noktasında soldan süreklidir. Diğer deyişle, $${\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}G(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$$  olur.

Gerçel değişkenli kuvvet serileri için verilen sonucun karmaşık değişkenli kuvvet serileri için geliştirilmiş hâli de vardır:^[2] Yakınsaklık bölgesi birim disk ${\displaystyle \mathbb {D} }$  olan ve katsayıları karmaşık sayı olan bir Taylor serisini ele alalım: $${\displaystyle G(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}.}$$  Eğer ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$  serisi yakınsaksa, o zaman ${\displaystyle G(z)}$  fonksiyonunun sabit bir ${\displaystyle M>1}$  tarafından ${\displaystyle \{z\in \mathbb {D} :|1-z|\leq M(1-|z|)\}}$  biçiminde tanımlı bir Stolz dilimi içinden ${\displaystyle z=1}$  noktasında limiti vardır.

Geometrik bir bakış açısıyla, limitin ${\displaystyle z=1}$  noktasına çembere teğet olmadan yaklaşması lazımdır. Birim disk içinde yer alan bu biçimdeki yaklaşma bölgesinde tepe noktası ${\displaystyle z=1}$ dir, bölge ${\displaystyle (-\infty ,1)}$  eksenini ortalar ve elbette tepe açısı^{[not 1]} ${\displaystyle 180^{\circ }}$ den azdır. Çember üzerindeki bir noktaya bu tür bölgelerden yaklaşılan limitlere teğet olmayan limit denir. Teoremin varsayımındaki teğet olmayan limit bahsi teorem için gereklidir. Gerçekten de bu bölge dışından yaklaşıldığında teoremde bahsedilen sonuca karşıt örnekler bulunabilir. Örneğin, $${\displaystyle G(z)=\sum _{n>0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$$  serisini $${\displaystyle a_{n}={\begin{cases}{\frac {1}{k}}&,n=3^{k},k\in \mathbb {Z} ^{+}\\-{\frac {1}{k}}&,n=2\cdot 3^{k},k\in \mathbb {Z} ^{+}\\0&,{\text{diğer hallerde}}\end{cases}}}$$  olacak şekilde tanımlayalım. ${\displaystyle \sum _{n>0}^{\infty }a_{n}}$  serisi sıfıra yakınsaktır; çünkü, serinin kısmî toplamları ${\displaystyle S_{N}}$  için $${\displaystyle S_{N}={\begin{cases}{\frac {1}{k}}&,3^{k}\leq N<2\cdot 3^{k}{\text{ ise }}\\0&,2\cdot 3^{k}\leq N<3^{k+1}{\text{ ise }}\end{cases}}}$$  olduğu görülebilir. ${\displaystyle S_{N}}$  dizisinin limiti elbette sıfırdır. Diğer taraftan, ${\displaystyle G(z)}$ , birim disk ${\displaystyle \mathbb {D} }$ 'nin tıkız altkümeleri üzerinde mutlak ve düzgün yakınsaktır; bu yüzden, açık disk üzerinde holomorftur. Gerçekten, ${\displaystyle |z|<1}$  iken $${\displaystyle \left|\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}z^{n}\right|\leq \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}z^{n}|<\sum _{n=1}^{\infty }|z|^{n}={\frac {1}{1-|z|}}.}$$  Diğer taraftan, benzer sebeplerle, ${\displaystyle G(z)}$  fonksiyonunu ${\displaystyle \sum _{n>0}{\frac {z^{3^{n}}-z^{2\cdot 3^{n}}}{n}}}$  olarak yazmanın sakıncası yoktur; çünkü, seri, iki yakınsak serinin farkı olarak yazılmıştır^{[not 2]} Ancak, teğet olmayan limit alınmadığında, meselâ, birim çember üzerinde ${\displaystyle e^{\frac {i\pi }{3^{n}}}}$  noktaları üzerinden limit alındığında seri harmonik serinin bir katı olarak ıraksak olacaktır. Bu yüzden, limitin teğet olmayan limit olması lazımdır.

Serideki ilk terimden gerekirse serinin değerini çıkararak ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=0}$  varsayabiliriz. Kısmi toplamlar ${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}}$  ile gösterilsin. ${\displaystyle a_{k}=s_{k}-s_{k-1}}$  ifâdesini kullanarak ve seride birkaç basit işlemden sonra $${\displaystyle G_{a}(z)=(1-z)\sum _{k=0}^{\infty }s_{k}z^{k}}$$  elde ederiz. Herhangi bir ${\displaystyle \varepsilon >0}$  değeri içi ${\displaystyle n}$  sayısını yeteri kadar büyük seçelim öyle ki bütün ${\displaystyle k\geq n}$  için ${\displaystyle |s_{k}|<\varepsilon }$  olsun. O zaman, ${\displaystyle z}$  Stolz diliminin içindeyken $${\displaystyle \left|(1-z)\sum _{k=n}^{\infty }s_{k}z^{k}\right|\leq \varepsilon |1-z|\sum _{k=n}^{\infty }|z|^{k}=\varepsilon |1-z|{\frac {|z|^{n}}{1-|z|}}<\varepsilon M}$$  olur. Bu nedenle, ${\displaystyle z}$ , ${\displaystyle 1}$ 'e yeteri kadar yakın olduğunda $${\displaystyle \left|(1-z)\sum _{k=0}^{n-1}s_{k}z^{k}\right|<\varepsilon }$$  olacaktır. Böylece, ${\displaystyle z}$ , ${\displaystyle 1}$ 'e yeteri kadar yakın olduğunda ve Stolz diliminin içindeyken ${\displaystyle \left|G_{a}(z)\right|<(M+1)\varepsilon }$  olur.

Bu teoremin doğrudan bir sonucu olarak, eğer ${\displaystyle z}$  sıfırdan farklı bir karmaşık sayıysa ve bu ${\displaystyle z}$  için ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}}$  serisi yakınsaksa, o zaman ${\displaystyle \lim _{z\to 1^{-}}G(z)\to \infty }$  olur.

 

${\displaystyle \{z\in \mathbb {D} :|1-z|\leq M(1-|z|)\}}$  şeklinde tanımlanan Stolz diliminin sınırları için $${\displaystyle y^{2}=-{\frac {M^{4}(x^{2}-1)-2M^{2}((x-1)x+1)+2{\sqrt {M^{4}(-2M^{2}(x-1)+2x-1)}}+(x-1)^{2}}{(M^{2}-1)^{2}}}}$$  şeklinde açık bir denklem vardır. ${\displaystyle x={\frac {1-M}{1+M}}}$  noktası bu dilimin en soldaki noktası olurken, en sağdaki nokta da ${\displaystyle x=1}$  olmaktadır. ${\displaystyle x=1}$  noktasındaki tepe açısı ${\displaystyle 2\theta }$  olmaktadır ki bu açı ile ${\displaystyle M}$  arasında ${\displaystyle \cos \theta ={\frac {1}{M}}}$  ilişkisi vardır.

Abel teoreminin uygulaması olarak $${\displaystyle a_{k}={\frac {(-1)^{k}}{k+1}}}$$  ele alalım. Geometrik serinin, ${\displaystyle -1<x<1}$  iken yakınsak olduğu ve ${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}}$  biliniyor. Diyelim ki, ${\displaystyle 0<z<1}$  olsun. O zaman, $${\displaystyle \int _{-z}^{0}{\frac {dx}{1-x}}=\ln(1+z)}$$  olurken, diğer taraftan düzgün yakınsaklıktan $${\displaystyle \int _{-z}^{0}\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}dx=\sum _{k=0}^{\infty }\int _{-z}^{0}x^{k}dx=z\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}z^{k}}$$  olur. Böylece, ${\displaystyle 0<z<1}$  için bir taraftan ${\displaystyle G_{a}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}z^{k}}$  varken, aynı zamanda $${\displaystyle G_{a}(z)={\frac {\ln(1+z)}{z}},\qquad 0<z<1,}$$  olmaktadır. O zaman, Abel teoremi sayesinde, ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}}$  serisi ${\displaystyle \ln 2}$  değerine yakınsar.

Başka bir benzer örnek $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}}$$  serisi için verilebilir. Ters tanjant fonksiyonu için

${\displaystyle \arctan(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}}$ 

bilindiği için, $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}}$$  serisi ${\displaystyle \arctan 1={\tfrac {\pi }{4}}}$  değerine yakınsar.

1. ^ Bu açıya Stolz açısı da denilir.
2. ^ Bu iki serinin yakınsaklık kanıtı için yine aynı türden eşitsizlikler kullanılabilir. ${\displaystyle \sum _{n>0}^{\infty }a_{n}}$  serisinin ${\displaystyle z=1}$  noktasında 0'a yakınsadığı buradan da görülebilir.

• PlanetMath'te Abel teoremi (İngilizce) --(Bu tipteki Abel teoremlerine daha genel bir bakış veriliyor)
• A.A. Zakharov (2001), "Abel summation method", Matematik Ansiklopedisi, Avrupa Matematik Topluluğu (İngilizce)
• Eric W. Weisstein, Abel's Convergence Theorem (MathWorld) (İngilizce)

• Abel testi