Euler spirali

Euler spirali, eğimi eğrinin uzunluğuyla doğrusal olarak degişen bir eğridir. Euler spiralleri yaygın olarak spiros, clothoids veya Cornu spiralleri olarak da adlandırılır. Euler spirallerinin kırınım hesaplamalarında uygulamaları vardır. Genellikle demiryolu ve karayolu mühendisliklerinde teğet eğrisi ve dairesel eğri arasındaki geometriyi bağdaştırmaya ve aktarmaya yarayan geçiş eğrisi olarak kullanılır. Teğet eğrisi ve dairesel eğri arasındaki geçiş eğrisinin eğimindeki lineer değişim prensibi Euler spiralinin geometrisini belirler:

• Eğimi teğetin düzgün kesitinden başlayarak lineer olarak eğri boyunca artar.
• Euler spiralinin dairesel eğriyle karşılaştığı yerde eğimi dairesel eğrinin eğimine eşit olur.

Dairesel yörüngede hareket eden bir nesne merkezcil ivmeye maruz kalır. Bir araç düz bir yörüngeden dairesel bir yörüngeye yaklaşırken aniden teğet noktasında başlayan merkezcil ivmeyi hissedecektir. İlk demiryollarında trenlerin düşük hızla hareket etmesinden ve yörüngelerin geniş yarıçaplı eğrilerden oluşmasından dolayı şimdiki yanal kuvvet uygulaması bir sorun oluşturmamaktaydı. Demiryolu taşıtlarının hızı günden güne arttıkça konforun gerekli olduğu ortaya çıktı. Bu yüzden de merkezcil ivme yolculuk mesafesiyle doğrusal olarak artmaktadır. Konforun sağlanması için eğimi alınan mesafeyle doğrusal olarak artan bir eğri çözüm olarak bulundu. Bu geometrik ifade Euler spiralidir. Leonhard Euler'in geometri çözümünden habersiz olarak Rankine Euler spiralinin dairesel bir eğriye yakınsayan bir parabol üzerindeki küçük açısal değişiklikler üzerinden yapılan bir yaklaşımı olan kübik eğriden (3. dereceden polinom) bahsetmiştir. Marie Alfred Cornu ve daha sonra başka inşaat mühendisleri de Euler spiralinin hesaplamalarını birbirlerinden bağımsız olarak çözmüşlerdir. Günümüzde Euler spiralleri yaygın olarak demiryolu ve karayolu mühendisliklerinde teğet eğrisi ve yatay dairesel eğri arasında geçişi ve konforu sağlamak için kullanılır.

Cornu spirali kırınım desenini betimlemek için kullanılır.^[1]

${\displaystyle R\,}$	Eğim yarıçapı
${\displaystyle R_{c}\,}$	Spiralin sonundaki dairesel eğimin yarıçapı
${\displaystyle \theta \,}$	Başlangıç noktasından spiral üzerindeki herhangi bir noktaya kadar uzanan eğrinin açısı.
${\displaystyle \theta _{s}\,}$	Bütün spiralin açısı
${\displaystyle L,s\,}$	Başlangıç noktasından başlanarak spiral boyunca katledilen uzunluk
${\displaystyle L_{s},s_{o}\,}$	Spiral eğrisinin uzunluğu

Sağ taraftaki grafik Euler spiralinin negatif x ekseni boyunca uzanmış düz bir çizgiyle bir çember arasındaki geçiş eğrisi olarak kullanıldıgını göstermektedir. Spiral pozitif x ekseni üzerindeki orijinden başlayarak gitgide saat yönünün tersinde dönerek çembere değer. Spiral ilk kadrandaki çift sonlu Euler spiralinin yukarısındaki küçük bir kısımdır.

Eğim tanımından yola çıkılarak,

${\displaystyle {\frac {1}{R}}={\frac {d\theta }{dL}}\propto L}$

${\displaystyle RL={\text{constant}}=R_{c}L_{s}\,}$

${\displaystyle {\frac {d\theta }{dL}}={\frac {L}{R_{c}L_{s}}}}$

Aşağıdaki şekilde yazarsak,

${\displaystyle {\frac {d\theta }{dL}}=2a^{2}L}$

${\displaystyle 2a^{2}={\frac {1}{R_{c}L_{s}}}}$

ya da ::${\displaystyle a={\frac {1}{\sqrt {2R_{c}L_{s}}}}}$

Böylece

${\displaystyle \theta =(aL)^{2}\,}$ olur.

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\int _{0}^{L}\cos \theta \,ds\\&=\int _{0}^{L}\cos \left[(as)^{2}\right]ds\end{aligned}}}$

Eğer

${\displaystyle L'=aL\,}$ olduğunu kabul edersek,

${\displaystyle dL={\frac {dL'}{a}}\,}$.

Böylece :: ${\displaystyle x={\frac {1}{a}}\int _{0}^{L'}\cos {s}^{2}ds}$ elde ederiz.

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=\int _{0}^{L}\sin \theta \,ds\\&=\int _{0}^{L}\sin \left[(as)^{2}\right]ds\\&={\frac {1}{a}}\int _{0}^{L'}\sin {s}^{2}\,ds\end{aligned}}}$

A'nın olduğu yani Euler eğrisinin normalize edilebilir olduğu durumlarda kartezyen koordinatlar Fresnel integrali (ya da Euler integrali) ile aşağıdaki gibi belirlenir:

${\displaystyle C(L)=\int _{0}^{L}\cos s^{2}\,ds}$

${\displaystyle S(L)=\int _{0}^{L}\sin s^{2}\,ds}$

Kosinüs açılımına göre C(L)'yi :

${\displaystyle \cos \theta =1-{\frac {\theta ^{2}}{2!}}+{\frac {\theta ^{4}}{4!}}-{\frac {\theta ^{6}}{6!}}+\cdots }$

${\displaystyle C(L)=\int _{0}^{L}\cos s^{2}\,ds}$

${\displaystyle =\int _{0}^{L}(1-{\frac {s^{4}}{2!}}+{\frac {s^{8}}{4!}}-{\frac {s^{12}}{6!}}+\cdots )\,ds}$

${\displaystyle =L-{\frac {L^{5}}{5\times 2!}}+{\frac {L^{9}}{9\times 4!}}-{\frac {L^{13}}{13\times 6!}}+\cdots }$

Sinüs açılımına göreyse S(L)'yi:

${\displaystyle \sin \theta =\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-{\frac {\theta ^{7}}{7!}}+\cdots }$

${\displaystyle S(L)=\int _{0}^{L}\sin s^{2}\,ds}$

${\displaystyle =\int _{0}^{L}(s^{2}-{\frac {s^{6}}{3!}}+{\frac {s^{10}}{5!}}-{\frac {s^{14}}{7!}}+\cdots )\,ds}$

${\displaystyle ={\frac {L^{3}}{3}}-{\frac {L^{7}}{7\times 3!}}+{\frac {L^{11}}{11\times 5!}}-{\frac {L^{15}}{15\times 7!}}+\cdots }$

bu şekillerde elde ederiz.

Verilen Euler eğrisi için:

${\displaystyle 2RL=2R_{c}L_{s}={\frac {1}{a^{2}}}\,}$

ya da

${\displaystyle {\frac {1}{R}}={\frac {L}{R_{c}L_{s}}}=2a^{2}L\,}$ geçerliyse,

${\displaystyle x={\frac {1}{a}}\int _{0}^{L'}\cos s^{2}\,ds}$

${\displaystyle y={\frac {1}{a}}\int _{0}^{L'}\sin s^{2}\,ds\,}$

where ${\displaystyle L'=aL\,}$ and ${\displaystyle a={\frac {1}{\sqrt {2R_{c}L_{s}}}}}$.

Euler spiralinin (x,y) cinsinden çözümünün elde edilme süreci şu şekilde belirlenebilir:

• Orijinal Euler spiralinin uzunluğu L a ile çarpılarak normalize edilmiş Euler spiralinin uzunluğu Le eşlenir;
• Fresnel integralinden (x',y') bulunur; ve
• (x',y') 1/a oranında arttırılarak (x,y)'ye eşlenir. (1/a > 1)

Normalizasyon süresince,

${\displaystyle {\begin{aligned}R'_{c}&={\frac {R_{c}}{\sqrt {2R_{c}L_{s}}}}\\&={\sqrt {\frac {R_{c}}{2L_{s}}}}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L'_{s}&={\frac {L_{s}}{\sqrt {2R_{c}L_{s}}}}\\&={\sqrt {\frac {L_{s}}{2R_{c}}}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}2R'_{c}L'_{s}&=2{\sqrt {\frac {R_{c}}{2L_{s}}}}{\sqrt {\frac {L_{s}}{2R_{c}}}}\\&={\tfrac {2}{2}}\\&=1\end{aligned}}}$

Normalizasyon genel olarak Lı 1'den küçük bir değere götürür.

Verilen:

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{c}&=300{\mbox{m}}\\L_{s}&=100{\mbox{m}}\end{aligned}}}$

değerleri için,

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{s}&={\frac {L_{s}}{2R_{c}}}\\&={\frac {100}{2\times 300}}\\&=0.1667\ {\mbox{radian}}\\\end{aligned}}}$ olur.

${\displaystyle 2R_{c}L_{s}=60,000\,}$

Euler spiralini √60,000 küçültürsek, yani normalize Euler spiralinin 100√6 olması durumunda:

${\displaystyle {\begin{aligned}R'_{c}={\tfrac {3}{\sqrt {6}}}{\mbox{m}}\\L'_{s}={\tfrac {1}{\sqrt {6}}}{\mbox{m}}\\\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}2R'_{c}L'_{s}&=2\times {\tfrac {3}{\sqrt {6}}}\times {\tfrac {1}{\sqrt {6}}}\\&=1\end{aligned}}}$

ve

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{s}&={\frac {L'_{s}}{2R'_{c}}}\\&={\frac {\tfrac {1}{\sqrt {6}}}{2\times {\tfrac {3}{\sqrt {6}}}}}\\&=0.1667\ {\mbox{radian}}\\\end{aligned}}}$

Yukarıda iki açı ${\displaystyle \theta _{s}\,}$ da aynı. Bu orijinal ve normalize edilmiş Euler spirallerinin benzer geometrilere sahip oldugunu göstermektedir. Normalize eğrinin konumu Fresnel integraliyle belirlenebilirken, orijinal Euler spiralinin konumu ise denormalizasyonla elde edilir.

Normalize Euler spirali şu şekilde ifade edilir:

${\displaystyle x=\int _{0}^{L}\cos s^{2}ds}$

${\displaystyle y=\int _{0}^{L}\sin s^{2}ds}$

ve normalize Euler spiralinin bazı özellikleri şunlardır:

${\displaystyle 2R_{c}L_{s}=1\,\!}$

${\displaystyle \theta _{s}={\frac {L_{s}}{2R_{c}}}=L_{s}^{2}}$

ve

${\displaystyle \theta =\theta _{s}\cdot {\frac {L^{2}}{L_{s}^{2}}}=L^{2}}$

${\displaystyle {\frac {1}{R}}={\frac {d\theta }{dL}}=2L.}$

Aşağıdaki Sage koduyla yukarıdaki ikinci grafik elde edilebilir. İlk 4 satır Euler spirali bileşenlerini ifade eder. fresnel fonksiyonlarının yerine iki Taylor seri açılımı adapte edilmiştir. Geriye kalan kodlarsa sırayla teğet ve daireyi ifade eder.

  var('L')
  p = integral(taylor(cos(L^2), L, 0, 12), L)
  q = integral(taylor(sin(L^2), L, 0, 12), L)
  r1 = parametric_plot([p, q], (L, 0, 1), color = 'red')
  
  r2 = line([(-1.0, 0), (0,0)], rgbcolor = 'blue')
  
  x1 = p.subs(L = 1)
  y1 = q.subs(L = 1)
  R = 0.5
  x2 = x1 - R*sin(1.0)
  y2 = y1 + R*cos(1.0)
  r3 = circle((x2, y2), R, rgbcolor = 'green')
  show(r1 + r2 + r3, aspect_ratio = 1, axes=false)

Aşağıdaki Mathematica kodu da Euler spiralinin bileşenleri içindir; wolframalpha.com'da sorunsuz bir şekilde çalışır.

  ParametricPlot[
   {FresnelC[Sqrt[2/\[Pi]] t]/Sqrt[2/\[Pi]],
    FresnelS[Sqrt[2/\[Pi]] t]/Sqrt[2/\[Pi]]},
   {t, -10, 10}]

• Eric W. Weisstein, Cornu Spiral (MathWorld)
• Euler's spiral at 2-D Mathematical Curves
• Interactive example with JSXGraph