Black-Scholes denklemi

Black-Scholes denklemi, 1973 yılında Fischer Black ve Myron Scholes tarafından yazılan makalede^[1] elde edilen Black-Scholes formülünün kanıtında ilk defa elde edilmiş ve daha genel türev ürünleri için de uyarlanabilen bir kısmi diferensiyel denklemdir. Black-Scholes formülünün orijinal kanıtındaki esas fikir, opsiyon ve opsiyon dayanak varlığından oluşan bir portföy yaratmak ve bu portföyü küçük zaman aralıklarında dayanak varlığın piyasa fiyatına duyarsız hale getirmektir. Sonucunda, Black-Scholes denklemi elde edilir ve elde edilen diferansiyel denklem, değişik dönüşümler ve yerine koymalar vasıtasıyla ısı denklemine dönüştürülür.

Kullanma fiyatı K, vadesi T olan Avrupa tipi bir opsiyonun fiyatı ${\displaystyle V=V(t,S)}$, bu opsiyonun dayanak varlığının spot fiyatı S, oynaklığı (volatilitesi) ${\displaystyle \sigma }$ ve risksiz-faiz oranı r olsun. Diyelim ki, dayanak varlığın spot fiyat süreci geometrik Brown hareketini izlesin; yani, Brown hareketini ${\displaystyle W}$ ile gösterirsek, ${\displaystyle \mu }$ sabitse

${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}.}$

olsun. O zaman,

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}+{\frac {S^{2}\sigma ^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}-rV=0.}$

Black-Scholes modelinin merkezi varsayımlarından biri söz konusu dayanak varlığın (Black-Scholes özelinde hisse senedinin) fiyatının hareketlerinin (S_t) geometrik Brown hareketini izlemesidir. Yani, sabit bir sürüklenme (${\displaystyle \mu }$) ve volatilite (${\displaystyle \sigma }$) olmak üzere;

${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}\,}$

Black-Scholes'un makalesindeki fikirden hareketle portföy (${\displaystyle P}$) şu şekilde oluşsun:

• -1 tane opsiyon (yani opsiyon satılmıştır)
• ${\displaystyle \triangle }$ sonradan belirlenmek üzere ${\displaystyle \triangle }$ tane dayanak varlık

Opsiyonun fiyatı ${\displaystyle V=V(t,S)}$ olsun. O zaman, bu portföyün değeri

${\displaystyle P=-V+\triangle S}$

olur. Bu potrföyün değerinin kısa bir zaman aralığındaki değişimi ${\displaystyle \mathrm {d} P}$ o zaman

${\displaystyle \mathrm {d} P=-\mathrm {d} V+\triangle \mathrm {d} S}$

olur. Öbür taraftan, fiyatı iki kere türevlenebilien bir türev ürününün fiyatı ${\displaystyle V=V(t,S)}$ için Ito önsavı kullanılarak

${\displaystyle \mathrm {d} V=\left({\frac {\partial V}{\partial t}}+\mu \,S{\frac {\partial V}{\partial S}}+{\frac {1}{2}}\,\sigma ^{2}\,S^{2}\,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)\mathrm {d} t+\sigma \,S\,{\frac {\partial V}{\partial S}}\,\mathrm {d} W}$.

O zaman,

${\displaystyle \mathrm {d} P=-\mathrm {d} V+\triangle \mathrm {d} S=-\left({\frac {\partial V}{\partial t}}+\mu \,S{\frac {\partial V}{\partial S}}+{\frac {1}{2}}\,\sigma ^{2}\,S^{2}\,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}-\triangle \mu S_{t}\right)\mathrm {d} t-\left(\sigma \,S\,{\frac {\partial V}{\partial S}}-\triangle \sigma S\right)\mathrm {d} W}$

olur. Bu portföyün dayanak varlığın piyasa fiyatına duyarsız halde olması istendiğinden, difüzyon teriminin (rassallığa katkıda bulunan terimlerin) 0 olması gerekir. Yani, ${\displaystyle \sigma \,S\,{\frac {\partial V}{\partial S}}-\triangle \sigma S=0}$ olmalıdır ki bu da ${\displaystyle \triangle ={\frac {\partial V}{\partial S}}}$ verir. O zaman,

${\displaystyle \mathrm {d} P=-\left({\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\,\sigma ^{2}\,S^{2}\,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)\mathrm {d} t}$

elde edilir. Diğer taraftan, portföy rassallığa duyarsız hale geldiği için risksiz faiz oranı ile büyüyecektir; yani,

${\displaystyle \mathrm {d} P=rPdt=-rVdt+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}dt}$

elde edilir. ${\displaystyle \mathrm {d} P}$ için elde edilen bu iki ifade birbirine eşitlenerek Black-Scholes kısmi diferansiyel denklemi elde edilir:

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}+{\frac {S^{2}\sigma ^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}-rV=0}$

Bu denklemin çözülmesi için aynı zamanda bir sınır değeri konulması lazım;ancak, zaten opsiyonun vade tarihindeki değeri opsiyonun türüne göre ${\displaystyle \max(S_{T}-K,0)}$ veya ${\displaystyle \max(K-S_{T},0)}$ olacaktır.

• Feynman-Kac formülü