Schwerpunkt

[679] Schwerpunkt, 1) (Phys.), s.u. Schwere II.; 2) (Math.) Für beliebig viel schwere Punkte im Raume, wie P₁, P₂, P₃, P₄..., deren Gewichte für G. als Gewichtseinheit durch m1 G, m2 G, m3 G, m4 G,... ausgedrückt sein mögen, findet für jede beliebige Ebene die Beziehung Statt, daß, wenn aus jenen auf diese die Lothe p1, p2, p3, p4... gefällt werden, das aus dem S. P. derselben auf dieselbe Ebene gefällte Loth p gefunden wird, wenn man die Summe der Producte aus jedem Coëfficienten m1, m2, etc. in das zugehörige Loth durch die Summe aller Coëfficienten dividirt, also

ist, wo die auf entgegengesetzte Seiten der Ebene fallenden Lothe mit entgegengesetzten Vorzeichen zu nehmen sind. Werden hier die Punkte sämmtlich von gleicher Schwere angenommen, so ist das Loth aus dem S. das arithmetische Mittel zwischen den Lothen aus allen gegebenen Punkten. In dieser Form nun haben Carnot u. L'Huilier den S. unter dem Namen des Punktes der mittlern Entfernungen (Centre des moyennes distances) in die Geometrie eingeführt, so daß sie für m1, m2, m3.... als beliebige, zu p1, p2, p3,_... gehörige Zahlencoefficienten, den eben angeführten Satz in eine Definition des S-s verwandeln. Es ergibt sich zunächst, wie man vermittelst dreier einander zu je zweien schneidender Ebenen den S. jedes Systems von Punkten finden kann u. läßt sich darthun, daß, wie man auch die Lage dieser Ebenen ändern mag, für dasselbe System der S. immer derselbe bleibt.