Ellipsoïd

[721] Ellipsoïd (griech., »ellipsenähnlich«), eine geschlossene krumme Fläche, ungefähr wie die Oberfläche eines Eies, wird folgendermaßen erhalten: man denke sich von einem Punkt O (s. Figur), dem Mittelpunkt, ausgehend drei gerade, zueinander senkrechte Linien und auf der ersten, die in der Papierebene liegt, nach beiden Seiten hin die Länge OA = OA₁ = a, auf der zweiten, zur Papierebene senkrechten die Strecke OB = OB₁ = b, auf der dritten, wieder in der Papierebene liegenden die Strecke OC = OC₁ = c abgetragen. Die drei mit den Achsen A₁ A und B₁ B, A₁ A und C₁ C, B₁ B und C₁ C konstruierten Ellipsen bilden dann die Hauptschnitte des Ellipsoids, die Achsen selbst die Achsen des Ellipsoids; wenn sie alle drei verschieden sind, so ist das E. dreiachsig. Man denke sich jetzt die durch A A₁, und B B₁, gehende Ebene so verschoben, daß sie immer senkrecht zu C₁ C bleibt; sie mag dann C₁ C in M, die Ellipse ACA₁ C₁, in D und D₁, die Ellipse BCB₁ C₁, in E und E₁ schneiden. Mit den Linien D₁ D und E₁ E als Achsen konstruiert man wieder eine Ellipse und denkt sich diese Konstruktion für alle Lagen des Punktes M von C₁ bis C ausgeführt. Die Fläche, auf der die so gewonnenen Ellipsen DED₁ E₁ sämtlich liegen, ist bann das dreiachsige E. Statt dessen kann man sich auch eine Ebene denken, die sich um die Achse C₁ C dreht; ist F der Punkt, in dem sie bei irgend einer ihrer Lagen die Ellipse ABA₁ B₁ schneidet, so liegt auch die mit den Halbachsen OC und OF konstruierte Ellipse auf der Fläche.

Sind die beiden größern Halbachsen gleich groß, a = b > c, so ist die Fläche ein abgeplattetes Rotationsellipsoid, das durch Umdrehung der Ellipse A C A₁ C₁ um ihre kleine Achse C C₁ entsteht. Die Oberfläche unsrer Erde bildet annähernd ein E. dieser Art; die Meridiane sind die kongruenten Ellipsen CAC₁, CFC₁ etc., der Kreis ABA₁ B₁ ist der Äquator, und die auf C C₁, senkrechten ebenen Schnitte wie DED₁ E₁ sind ebenfalls Kreise (die Parallelkreise). Sind aber die beiden kleinern Halbachsen gleich, b = c < a, so erhält man ein gestrecktes Rotationsellipsoid, das entsteht, wenn sich die Ellipse ACA₁ C₁ um ihre große Achse AA₁ dreht; in diesem sind alle Schnitte senkrecht zu A₁ A Kreise. Ein E. mit drei gleichen Achsen ist eine Kugel. Der Rauminhalt des dreiachsigen Ellipsoids ist 4/3 abcπ (π = 3,1416; vgl. Kreis). Das E. gehört zu den Flächen zweiten Grades, weil es von einer Geraden in nicht mehr als zwei Punkten geschnitten werden kann; von einer Ebene wird es entweder in einer Ellipse oder in einem Kreise geschnitten. Seine Gleichung, bezogen auf die Achsen der Hauptschnitte als Koordinatenachsen, ist