Collection de nombres - Mersenne, propriétés, conjecture, record, premier

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NOMBRES de MERSENNE

M_n = 2ⁿ – 1

Puissance de deux moins un.

Intérêt particulier porté sur les nombres de Mersenne premier.

Note: Généralement un nombre de Mersenne est entendu comme un nombre de Mersenne premier.

Les nombres de Mersenne sont un cas particulier des nombres de Cunningham et également des nombres de Williams.

En bref

Propriétés fondamentales

Si on connaît

un nombre de MERSENNE premier:

2ⁿ – 1

Alors, on connaît

un nombre PARFAIT

beaucoup plus grand:

2^{n – 1} (2ⁿ – 1)

Voir Défi de Frénicle à Fermat

NOMBRES DE MERSENNE (1664)

Théorème

M_n = 2ⁿ – 1

Si ce nombre est premier alors n est premier. La réciproque n'est pas vraie.

Exemples

M₂ = 2² – 1 = 3 C'est le N°1

M₃ = 2³– 1 = 7 C'est le N°2

M₅ = 2⁵– 1 = 31 C'est le N°3

Voir Liste des nombres de Mersenne

et Record des nombres de Mersenne premiers

Exploration de ce théorème

Pour ces nombres premiers, 2ⁿ – 1 est composé:

11, 23, 29, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 67, 71, 73, 79, 83, 97, 101, 103, 109, 113, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199 …

Liste pour les premières valeurs

Suite de ce tableau

Repunit en binaire

Cas des rep-units, nombres formés de 1, en binaires.

Traduit en décimal, ce sont tous des nombres de Mersenne.

11₂ = 3₁₀ = 4 – 1 = 2² – 1

111₂ = 7₁₀ = 8 – 1 = 2³ – 1

1111₂ = 15₁₀ = 16 – 1 = 2⁴ – 1

Démonstration express

2ⁿ – 1 , si n est composé, il peut s'écrire 2^km – 1 et se factoriser en:

2^km – 1 = (2^k – 1) (2^{k (m-1)} + … + 2^kl + 2^k + 1).

Donc n est composé, et 2ⁿ – 1 ne peut pas l'être (car divisible par 2^k – 1.

2ⁿ – 1 ne peut être premier que si n l'est.

Il s'agit ici d'une démonstration par l'affirmation opposée, dite par contraposée.

On peut même démonter que: si a et n sont des entiers plus grand que 1, si aⁿ – 1 est premier, alors a = 2 et n est premier.

Voir Divisibilité des nombres de Mersenne / Contraposée

Exposant premier

N = aⁿ – 1

Ce nombre n'est premier que si a = 2 et n est premier, et c'est justement un nombre de Mersenne.

Démonstration

Calcul avec le développement:

aⁿ – 1

= (a – 1) (a^n-1 + a^n-2 + … + a + 1)

Pour être premier l'un de ces deux facteurs doit être égal à 1.

Or le deuxième est > 1.

C'est donc le premier qui vaut 1.

(a – 1) = 1

a = 2

Supposons que n soit composé

Avec r et s > 1

n = r . s

Nouveau calcul:

Le nombre est alors le produit de deux facteurs.

Chacun est > 1.

Il est composé et non premier comme le veut l'hypothèse.

aⁿ – 1 = 2^rs – 1

= (2^r – 1) (2^r(s-1) + 2^r(s-2) + … + 2^r + 1)

Seule possibilité

2ⁿ – 1 est premier que si n est premier

THÉORÈMES ET CONJECTURES

On ne sait pas prouver que:

Les nombres de Mersenne premiers sont en nombre infini.

Les nombres de Mersenne composés, ayant un exposant premier, sont en nombre infini.

On sait aujourd'hui que:

Si M_p est premier, alors p l'est aussi, mais la réciproque n'est pas vraie.

Par contre: si p est composé alors M_p est composé (Connu de Mersenne) – Voir Démonstrations

Les nombres de Mersenne sont premiers entre eux.
C'est la base d'une démonstration montrant qu'il existe un nombre infini de nombres premiers.

Chaque nombre de Mersenne engendre un nombre parfait

Euler a montré que:

Si k > 1 et p = 4k + 3 est premier, alors 2p + 1 est premier si et seulement si 2^p = 1 (mod 2p+1).
Donc, si p = 4k + 3 et 2p + 1 sont premiers alors le nombre de Mersenne 2^p– 1 est composé.
Il semble raisonnable d'affirmer qu'il y a une infinité de telles paires p et 2p+1.

Conjecture

La nouvelle conjecture de Mersenne, Bateman, Selfridge et Wagstaff affirme que:

Soit p un entier impair quelconque. Si deux des conditions suivantes sont remplies, alors la troisième aussi :

2) 2^p- 1 est premier (un premier de Mersenne, évidemment)

3) (2^p+ 1)/3 est premier.

Vérifiée pour tous les premiers p < 100 000.

MERSENNE en puissance
Est-ce que ces nombres sont premiers?	= 170141183 4604692317 3168730371 5884105727 C₅ > 10^{5121759971936968187987972338633157624}
Selon Dickson, Catalan répondit en 1876 à Lucas, en affirmant que C₄ = 2¹²⁷ - 1 est premier. Il est improbable que tous ces nombres soient premiers. C'est un exemple de la grande loi de Guy sur les petits nombres.

Voir Nombres Sublimes

MERSENNE et diviseurs
Observons la somme des diviseurs des nombres de Mersenne premiers. Et leur produit.	M₂ = 2² – 1 = 3 = 1 + 3 = 4 = 2² M₃ = 2³ – 1 = 7 = 1 + 7 = 8 = 2³ M₅ = 2⁵ – 1 = 31 = 1 + 31 = 32 = 2⁵ = 2² . 2³ = 2⁵ = 32 = 2² . 2³ . 2⁵ = 2¹⁰ = 1024
Si M_p = 2^p – 1 Produit de nombres de Mersenne premiers: la somme des diviseurs est égale à 2 à la puissance de la somme des indices:

Voir Nombres sublimes (propriété utilisée pour la démonstration)

MERSENNE

& M – 1 = 2ⁿ – 2 = 2(2^n-1 – 1)

Propriété amusante avec un nombre de Mersenne M_n et M_n – 1.

On pourrait penser que si M_n – 2 est divisible par n, alors le nombre de Mersenne est premier.

Ex: M₅ = 2⁵ – 1 = 31 qui est premier et 30 = 5 x 6 (en jaune sur le tableau).

Hélas, ça ne marche pas toujours.
Ex: M₁₁ = 2¹¹ – 1 = 2 047 = 23 x 89 et 2046 = 11 x 186 (en bleu sur le tableau).

Pire, la quantité de faux augmente.

Pour n jusqu'à 100

10 Vrais: [2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89]

16 Faux: [1, 11, 23, 29, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 67, 71, 73, 79, 83, 97]

Pour n jusqu'à 1000

14 Vrais: […, 107, 127, 521, 607]

158 Faux: […, 101, 103, 109, 113, 131, 137, 139, 149, …]

Pour n jusqu'à 10 000

20 Vrais & 666 Faux

Cette affirmation est fausse

Voir Nombre 666

Compagnons des nombres de Mersenne

haut

Définition des nombres compagnons

Ce sont des nombres premiers de la forme:

C_k = M_k + n × 10^D

Avec D, la quantité de chiffres dans le nombre de Mersenne.

Lecture du tableau

k est le rang du nombre de Mersenne et kp celui du nombre premier.

M_k est le nombre de Mersenne.

D est la quantité de chiffre de M_k.

C est le nombre compagnon selon le coefficient n.

En rouge, les nombres premiers.

Exemples

Compagnons premiers

On ne conserve que les nombres de Mersenne premiers.

Parmi, les nombres premiers qui restent, on note le premier en tête. C'est le nombre compagnon de Mersenne.

Tableau réduit aux nombres premiers

Liste 1: valeur de n suivie du nombre de Mersenne

Liste 2: valeur de n pour les Mersenne premiers successifs

[1, 3], [1, 7], [1, 31], [4, 127], [1, 8191], [10, 131071], [1, 524287], [36, 2147483647], [15, 2305843009213693951], [58, 618970019642690137449562111], …

1, 1, 1, 4, 1, 10, 1, 36, 15, 58, 57, 55, 310, 177, 51, 2389, 973, 532, 1750, 63, 1032, 1240, 3757, 9994, 5854, 12870, 46147, 11923, 17113, 10296, 5977, …

Voir OEIS A209985 – Values of the first prefixing digits for Mersenne primes

Voir OEIS A202136 – Prefixing digits to Mersenne primes to obtain larger primes

Auteur: Gil Mozzo

Quantité de nombres premiers pour chaque Mersenne pour n de 1 à 100

41, 45, 30, 21, 22, 14, 13, 9, 5, 3, 1, 3, 0, 0 …

Lecture: entre n = 1 à 100, il y a 41 nombres premiers de type C.

La densité tend vers 0 pour les grands nombres de Mersenne.

Programme Maple

But

Lister les valeurs de n pour les compagnons Mersenne successifs.

Commentaires

Ouverture de la liste L.

Calcul de M et de sa quantité de chiffres via le logarithme.

Balayage en n et calcul du compagnon potentiel P.

S'il P est premier et M est premier, ajouter la valeur de n à la liste.

Arrêt du balayage (break) en n dès qu'un P premier a été trouvé. On ne cherche que le plus petit n.

Impression de la liste L en fin de programme.

Listing du programme pour copier-coller

restart: L := []: for k from 2 to 100 do M := 2^k-1; d := floor(log[10](M))+1; for n to 1000 do P := n*10^d+M; if isprime(P) and isprime(M) then L := [op(L), n]; break end if end do end do: L;

Voir Compagnons des nombres de Fermat / Programmation – Index

Idée de Gil Mozzo que je remercie pour ce partage d'informations

HISTORIQUE

Avant

De nombreux auteurs pressentaient que les nombres de la forme 2ⁿ – 1 étaient tous premiers

Regius – 1536

Hudalricus Regius montre que 2¹¹– 1 = 2 047 n'est pas premier (2 047 = 23 x 89).

Cataldi – 1603

Pietro Cataldi vérifie que 2¹⁷– 1 and 2¹⁹– 1 sont tous les deux premiers, mais indique faussement que 2ⁿ– 1 est aussi premier pour 23, 29, 31 et 37.

Fermat – 1640

Fermat montre que Cataldi avait tort pour 23 et 37.

Arrive le moine français Marin Mersenne (1588-1648)

Mersenne mentionne dans la préface de son livre Cogitata Physica-Mathematica (1644) que le les nombres 2ⁿ- 1 sont premiers pour : n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 et 257 et qu'ils sont composés pour les autres n < 257.

La conjecture, incorrecte, de Mersenne était à peine meilleure que celle de Regius, mais c'est son nom qui reste attaché à ces nombres.

Les cinq erreurs de Mersenne n'ont été résolues définitivement qu'en 1952 par Robinson par ordinateur.

Euler – 1750

Euler montre que Cataldi avait tord aussi pour 29 et raison pour 31.

Lucas – 1876

Après un siècle, Lucas vérifie que 2¹²⁷- 1 est premier aussi.

Il a mis au point un test de primalité des nombres de Mersenne, amélioré par Lehmer en 1930. Application à la main pour les 19 premiers Mersenne (p < 258).

Pervusin – Sept ans plus tard

Il montre que 2⁶¹- 1 est premier. Mersenne n'avait pas vu celui-là.

Powers – Au début des années 1900

Il montre que Mersenne était passé à côté de 2⁸⁹- 1 et 2¹⁰⁷- 1

Finalement, en 1947

La liste correcte des nombres de Mersenne pour n < 258, est établie et vérifiée :

n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 et 127

Depuis, avec les ordinateurs

En 1952, M₁₅₇ est confirmé en quelques secondes sur la machine SWAC (Raphël Robinson). Il découvre les cinq plus grans Mersenne de cette époque: 157, 183, 368, 33

Avec la capacité croissante des ordinateurs, sans oublier de réel progrès en technique de calcul (factorisation et test de primalité), les records tombent régulièrement et, en fait, donnent les plus grands nombres premiers connus.

Un beau spécimen

2⁵²¹ – 1 = 512 2⁵¹² – 1